叶天帝为天下苍生血战黑暗至尊（又名0-1背包问题）

动态规划解决0-1背包问题

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问题引入：
　　话说，有一天，叶天帝打算带领天庭众人去扫平禁地，斩杀发起黑暗动乱的至尊，毫无疑问，这将是一场恶战，叶天帝当然要好好准备一翻。
　　叶天帝就找来了段德，索要其宝物，段德迫于众人威胁，就忍痛拿出了珍藏许久的宝贝，叶天帝十分高兴，准备都装入空间戒指，出发征战禁地。这时，一旁的大黑狗突然嘿嘿怪笑，叶天帝猛然抬头，想到了什么，原来，叶天帝最大的空间戒指被大黑狗叼走了。众人一阵无语，大家都知道，只要进了大黑狗的嘴，就休想再拿回来，叶天帝无奈，只能在一个很小的空间戒指中装征战禁地的资源，但是空间有限，战争又很残酷，叶天帝就想在有限的空间内装下最大价值的资源。
　　叶天帝找众人商量，如何能使得有限的空间戒指装下最大价值的资源呢？众人皆挠头。叶天帝无奈，只能自创功法。在闭关九九八十一日之后，叶天帝出关，顿时世间霞光万道，困扰众人的问题已被破解，叶天帝将这一创世功法命名为　0-1背包大法。
　　这时，一旁的大黑狗突然贼溜溜盯着叶天帝，突然开口：“叶小子的脑袋怎么闪我眼睛呢？”。叶天帝顿时暴怒，想要烤了大黑狗…………

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什么是 0-1 背包问题?

问题：
　　给定 Ｎ个物品和一个背包。第 $i$ 个物品的重量为 $W_i$ ，其价值为 $V_i$，背包的总容量为 $C$。如何选取物品装入背包，使得背包中所装入的物品的总价值最大？
　　需要注意的是，0-1 背包问题在选择装入背包的物品时，对于物品 $i$，只有两种选择，要么装入背包，要么不装入背包。不能将物品 $i$ 装入多次，也不能只装入物品 $i$ 的一部分。

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【解题思路】：
　　我们要用动态规划来解决 0-1 背包问题，可以先使用递归的思想，看能不能得到一个递推方程，然后根据这个递推方程再进行时间和空间上的优化。
　　在 0-1 背包问题中有 N 个物品，我们设定一个数组 $W[i...N-1]$ 来表示物品 $i$ 的体积，数组 $V[i...N-1]$ 来表示物品 $i$ 的价值，再创建一个二维数组 $DP[N][M]$，N 为物品的个数，M 为背包当前的容量，表示当前的最大价值。。例： $DP[i][j]$ 表示取前 $i$ 个物品，使其体积不超过 $j$ 的最优解，即：最大价值。
　　写出递推方程：

$DP[k][w] = \begin{cases} DP[k-1][w] & \text{第k件太重，超过背包容量} \\ max\{DP[k-1][w]，DP[k-1][w-W[k]]+V[k]\} & \text{选和选中取较大者} \end{cases}$
现给出背包容量 $C$ = 20，物品的体积和价值如下：

序号	物品体积 ( $W[i]$)	物品价值 ( $V[i]$)
0	2	3
1	3	4
2	4	5
3	5	8
4	9	10

写出递归树：（画的多了容易混，就只写出来部分）

• 我们依然采用我们的 选 和 不选 大法

什么？你不知道这个功法？请点击下面链接进行升级打怪

试炼古境

• 分析：
  （1）选，表示选择该物品，然后在前 $k-1$ 个物品中继续选，背包容量则应减去该物品的体积，总价值就加上该物品的价值。
  （2）不选：表示不选择该物品，然后在前 $k-1$ 个物品中继续选择，背包容量和价值不变。
  （3）在选和不选之间取较大者。
  （4）还有一种情况就是：当前物品的体积已经超过了当前的背包容量，则直接跳过，在前面 $k-1$ 个物品中继续选择。

填写出DP数组，即： $DP[i][j]$ 表示取前 $i$ 个物品，使其体积不超过 $j$ 的情况下，背包中的最大价值。

根据上面的分析，我们可以写出递推程序：

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 6;//物品数量
const int C = 20;//背包容量
int DP[N][C+1]={0,0};//最大价值
int W[N] = { 0,2,3,4,5,9 };//物品的体积
int V[N] = { 0,3,4,5,8,10 };//物品的价值
int X[N];//构造最优解
int max(int a, int b)
{
	int m = a > b ? a : b;
	return m;
}
void KnapSack()
{
	int k, w;//第k个商品,j为当前容量
	int i, j;
	for (k = 1; k < N; k++)
	{
		for (w = C; w>=0; w--)
		{
			if (W[k] > w)
				DP[k][w] = DP[k - 1][w];
			else
			{
				int a = DP[k - 1][w - W[k]] + V[k];
				int b = DP[k - 1][w];
				DP[k][w] = max(a, b);
			}
		}
	}
}
void Traceback() //选择了哪些物品
{
	int c = C, n = N;
	for (int i = n; i >=0; i--)
	{
		if (DP[i][c] == DP[i - 1][c])
			X[i] = 0;
		else
		{
			X[i] = 1;
			c = c - W[i];
		}
	}
	X[n] = (DP[1][c])==0 ? 1 : 0;
}

int main()
{
	KnapSack();
	int i, j;
	Traceback();
	for (i = 0; i < N; i++)
	{
		if (X[i] == 1)
		{
			cout << "选择第" << i << "件物品：";
			cout << "体积：" << W[i] << "  " << "价值：" << V[i] << endl;
		}

	}
	cout <<"\n"<<"最大价值为："<< DP[N-1][C] << endl;
	
	return 0;
}

输出：
选择第1件物品：体积：2 价值：3
选择第3件物品：体积：4 价值：5
选择第4件物品：体积：5 价值：8
选择第5件物品：体积：9 价值：10
最大价值为：26

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【注】：
　　我们设置物品时，第一个要设置为一个假想物品，即：它的体积为0，价值为0。为什么要这么设置呢？难道是玄学的问题？No，No，No。
　　因为我们下面递推时，要从第一个物品开始（下标从0开始），因为如果从 0 开始的话，int a = DP[k - 1][w - W[k]] + V[k];，这一句就会发生下标是负数的情况。为了避免这种情况，我们就设置一个假想的物品，体积和价值都为0，它只起到一个占位的作用。

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但是呢，这个算法用到了一个二维数组，嗯？二维……如果物品很多呢，如果背包很大呢？是不是就得开辟一个灰常大的二维数组，显然，这不是我们想要的。

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优化空间的 0-1背包

我们分析以上代码，发现一个惊天大秘密，每次计算最大价值时，它只和它的正上方元素和左上方元素相关，而且每次计算完成之后，该位的值就会更新，所以，我们是不是可以用一个一维数组来代替这个二维数组呢？
　　我们设定一个一维数组 dp[C+1]，为什么是数组大小是 C+1 呢？因为下标从0开始，dp[C] 才是我们要的结果。
　　dp[j] 就表示背包容量为 $j$ 时，所获得的最大价值。

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 6;//物品数量
const int C = 20;//背包容量
int dp[C + 1] = { 0};//最大价值
int W[N] = { 0,2,3,4,5,9 };//物品的体积
int V[N] = { 0,3,4,5,8,10 };//物品的价值
int max(int a, int b)
{
	int m = a > b ? a : b;
	return m;
}
void KnapSack()
{
	int k, w;//第k个商品,j为当前容量
	int i, j;
	for (i = 0; i < N; i++)
	{
		for (j = C; j >= W[i]; j--)
		{
			dp[j] = max(dp[j], dp[j - W[i]] + V[i]);

		}
	}
}
int main()
{
	KnapSack();
	int i, j;
	cout << "最大价值为：" << dp[C] << endl;
	return 0;
}

至此，我们可以采用一维数组来解决 0-1 背包问题。

叶天帝也带领众人去征战禁地……
战况如何？

请点击下面链接，叶天帝将使用分治大法，逐一击败众位黑暗至尊

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