LeetCode 69. x 的平方根 -- 牛顿迭代法

1 题目描述

实现 int sqrt(int x) 函数。
计算并返回 x 的平方根，其中 x 是非负整数。
由于返回类型是整数，结果只保留整数的部分，小数部分将被舍去。

2 示例

示例 1:
输入: 4
输出: 2

示例 2:
输入: 8
输出: 2
说明: 8 的平方根是 2.82842…, 由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。

3 牛顿迭代法

• 求x的平方根：首先随便猜一个近似值 $cur$，然后不断令 $cur$等于 $cur$ 和 $x/cur$ 的平均数，迭代个六七次后 $cur$的值就已经相当精确了。

例如，我想求根号 2 等于多少。假如我猜测的结果为 4，虽然错的离谱，但你可以看到使用牛顿迭代法后这个值很快就趋近于根号 2 了：

( 4 + 2/ 4 ) / 2 = 2.25
( 2.25 + 2/ 2.25 ) / 2 = 1.56944…
( 1.56944…+ 2/1.56944…) / 2 = 1.42189…
( 1.42189…+ 2/1.42189…) / 2 = 1.41423…
….

4
算法原理：

• 我们不断用 $(x, f(x))$的切线来逼近方程 $x^{2}-a=0$的根。根号 $a$实际上就是 $x^{2}-a=0$的一个正实根，这个函数的导数是 $2x$。也就是说，函数上任一点 $(x, f(x))$处的切线斜率是 $2x$。
• 那么，过点 $(x, f(x))$的切线与x轴的交点横坐标为 $((x^{2}+a)/2x,0)$，其中 $x^{2}+a/2x$就是一个比 $x$更接近的近似值。化简后也就是 $(x+a / x) / 2$。
• 下面的图片可以更形象的理解这种逼近过程：
  

4 LeetCode代码实现

class Solution:
    def mySqrt(self, x: int) -> int:
        if x==0:
            return 0
        else:
            cur = x
            while True:
                pre = cur
                cur = (cur + x/cur) / 2
                if abs(pre-cur) < 1e-6:
                    return int(cur)