字节笔试题 leetcode 69. x 的平方根

题目如下图示：

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题目要求非负整数 x 的平方根，相当于求函数 y = √x 中 y 的值。

函数 y = √x 图像如下：

从上图中，可以看出函数是单调递增的，满足二分查找的条件（区间是有序的），所以可以考虑用二分查找去做。

解题细节

1、由于当 x 为非负整数时，其平分根一定在区间 [1, x/2 + 1] 内，所以为了缩小查找的范围，二分的左右边界分别取 left = 1 和 right = x / 2 + 1，而不取 0 和 x；

2、为了防止在查找过程中比较 mid * mid 和 x 中，前者值太大，超出整型范围而溢出，取 mid 与 x / mid 进行比较（mid 为 1 中的 left 和 right 的和的平均值，故不会等于 0）。

Show me the Code

// C++ 版本
class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        int left = 1, right = (x >> 1) + 1;
        while (left <= right) {
            /* 防止溢出 */
            int mid = left + ((right - left) >> 1);
            /* mid 大于 √x ，在 mid 前半区间查找 */
            if (mid > x / mid) {
                right = mid - 1;
            /* mid 小于 √x ，在 mid 后半区间查找 */
            } else if (mid < x / mid) {
                left = mid + 1;
            /* mid 等于 √x ，查找到直接返回 */
            } else {
                return mid;
            }
        }
        return right;       
    }
};

# golang 版本
func mySqrt(x int) int {
    l, h:= 1, x/2 + 1
    for l <= h {
        mid := l + (h - l) / 2
        if mid == x / mid {
            return mid
        } else if mid > x / mid {
            h = mid - 1
        } else {
            l = mid + 1
        }
    }

    return h
}

说明

right = x / 2 + 1，而不是 right = x / 2，因为当 x = 1 时，如果 right 取 x / 2 的话，由于 x/2 = 0，此时 left = 1 大于 right，直接循环跳出，导致 x 的平方根为 0 而不是 1 出错；
最后是 return right 还是 return left，可以通过调试得出，循环退出的条件是 left = right + 1，当 x = 8 的时候，题目要求返回的是 2 ，如果最后是 return left 的话，返回的结果是 3 ，所以返回的是 right 。

进一步补充
可能有些童鞋会问到，你上面写的循环的条件为何是 left <= right 而不是 left < right，其实这两个条件都可以，主要区别在于：

循环结束的条件不一样，前者是 left = right + 1 后者是 left = right。

定义的查找区间的右边界取值不一样，前者右边界取值为 x / 2 + 1，后者为 x / 2 + 2。

这里会提到一个循环不变量的概念：

循环不变量
1. 初始化：它在循环的第一轮迭代开始之前，应该是正确的。

2. 如果在循环的某一次迭代开始之前它是正确的，那么，在下一次迭代开始之前，它也应该保持正确。

3. 当循环结束时，不变式给了我们一个有用的性质，它有助于表明算法是正确的。

所以本题循环的条件可以是 left <= right 也可以是 left < right，关键是需要一直维护对应的区间 [left, right] 或 [left, right)。下面补充一个循环条件为 left < right 的 C 语言代码，最后返回的是 right - 1，是因为:

1. 定义的查找区间是左闭右开的，即 [left, right)，取不到右边界 right；当 left == right 时，循环退出，但是 right 取不到，所以取 right - 1；

2. 通过调试也能得出。

Show me the Code

int mySqrt(int x){
    int left = 1, right = x / 2 + 2;
    //  循环不变量   始终维持在区间 [left, right) 中查找，当 left = right 时，区间为空，查找结束
    while (left < right) { 
        //  防止溢出                     
        int mid = left + ((right - left) >> 1);
        //  mid 大于 √x ，在 mid 前半区间 [left, mid) 中查找
        if (mid > x / mid) {                     
            right = mid;
        //  mid 小于 √x ，在 mid 后半区间 [mid + 1, right) 中查找
        } else if (mid < x / mid) {              
            left = mid + 1;
        //  mid 等于 √x ，代表查找到 target，则直接返回
        } else {                                 
            return mid;
        }
    }

    return right - 1;
}

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字节笔试题 leetcode 69. x 的平方根

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