【图论】图的存储方式之邻接矩阵结构 实例

【图论】图的存储方式之邻接矩阵结构

简单的问题

无向图中，有n个点，m条边，有q次询问，每次询问从x点到y点的长度为z的路径共有多少条？

两条路径相同当且仅当每一步它们经过的结点相同。

数据范围限制：

• 1 <= n,x,y,z,q <= 100

思路：

对于一个无向图：

它的邻接矩阵表示如下：

以上图的表示为：设程序中的二维数组的定义为matrix。则matrix[3][4] = 1表示结点3与结点4相连，matrix[3][5] = 1表示结点3与结点5相连。

换一种思路，这也可以是：
matrix[3][4] = 1表示结点3到结点4的路径长度为1的路径有1条，matrix[3][5] = 1表示结点3到结点5的路径长度为1的路径有0条。

考虑矩阵的乘法：

matrix[i][j][a+b] = matrix[i][k][a]*matrix[k][j][b] (1<=k<=n)

以上的公式是不是可以解释为结点i到结点j的路径长度为a+b的路径数等于结点i到结点k的路径长度为a的路径数与结点k到结点j的路径长度为b的路径数的乘积呢？

代码：

void solve()
{
	int n; // 结点数
	int m; // 边数
	int q; // 查询数
	int matrix[LEN][LEN][LEN] = {0}; //邻接矩阵
	int x, y, z;

	// 输入数据
	std::cin >> n >> m;
	for (int i = 0; i < m; ++i)
	{
		std::cin >> x >> y;
		matrix[x][y][1] = matrix[y][x][1] = 1;
	}
	
	// 数据处理
	for (int dis = 2; dis <= 100; ++dis) // 长度
	{
		for (int src = 1; src <= n; ++src) // 起点
		{
			for (int dst = 1; dst <= n; ++dst) // 终点
			{
				for (int mid = 1; mid <= n; ++mid) // 中间结点
				{
					matrix[src][dst][dis] += matrix[src][mid][dis-1]*matrix[mid][dst][1];
				}
			}
		}
	}

	// 查询
	std::cin >> q;
	while(q--)
	{
		std::cin >> x >> y >> z;
		std::cout << matrix[x][y][z];
	}
}

需要使用快速幂优化。

可能还有其他更优的做法？？