52-图的邻接矩阵存储结构及算法

1. 图的存储结构

通常我们要根据图的逻辑结构来设计图的存储结构来存储每个顶点的信息，存储每条边的信息。图的存储结构有以下两种：

1. 邻接矩阵存储方法

2.邻接表存储方法

2. 邻接矩阵存储方法

邻接矩阵是表示顶点之间相邻关系的矩阵。设G = （V , E）是具有n（n > 0）个顶点的图，顶点的编号依次为0 ~ n-1。G的邻接矩阵A是n阶方阵，其定义如下所示：

图1-无向图

我们知道邻接矩阵A是表示无向图中顶点之间相邻关系，比如在无向图中（0，1）顶点之间有一条边，互为邻接点关系，那么对应的在邻接矩阵A[0][1]中对应的元素就为1 。再比如无向图中（0，0）是顶点0到顶点0自己，没有边，不是邻接点关系，那么在邻接矩阵A[0][0]中对应的元素就为0。

因此我们可以总结为：若（i，j）∈ E( G )，说明顶点之间互为邻接点关系，那么A[i][j] = 1；其他情况A[i][j] = 0 。

图2-有向图

对于有向图来说，邻接矩阵A是表示有向图中顶点之间的相邻关系，如果有相邻关系则邻接矩阵A中对应的元素值就为1。比如在有向图中<0，1>顶点之间有一条边，顶点0和顶点1互为邻接点关系，那么对于的在邻接矩阵A[0][1]中的元素值为1 。又比如有向图中不存在顶点1到顶点0这样的一条边，那么在邻接矩阵A[1][0]中对应的元素值为0。

因此我们可以总结为：若< i，j > ∈ E( G )，说明顶点之间互为邻接点关系，那么A[i][j] = 1；其他情况A[i][j] = 0 。

图3-带权无向图

对于带权无向图来说，（1，2）顶点之间互为邻接点关系，且顶点1到顶点2的边的权为8，那么在邻接矩阵A[1][2]对应的元素值为8。而顶点1到顶点3不是互为邻接点关系，没有边，因此顶点1到顶点3的权无穷大，那么在邻接矩阵A[1][3]对应的元素值用“∞”符号表示，也就是无穷大的意思。顶点1到顶点1非邻接点关系，在邻接矩阵A[1][1]中元素值为0表示，同时我们还能看到带权无向图的邻接矩阵A也是一个对称关系。

因此我们可以总结为：
$w_{ij}$ 表示顶点i到顶点j的边的权

如果i ≠ j，且（i，j）∈ E（G），说明顶点i和顶点j互为邻接点关系，那么A[i][j] = $w_{ij}$ 。

如果i = j，那么A[i][j] = 0

其他情况，那么A[i][j]用“∞”符号表示

图4-带权有向图

经过有向图，无向图，无向带权图的学习，相信你对这几种图结构的特点非常清楚了，对于带权有向图同理，我们就不再详细介绍，直接总结为：
$w_{ij}$ 表示顶点i到顶点j的边的权

如果i ≠ j，且< i，j > ∈ E（G），说明顶点i和顶点j互为邻接点关系，那么A[i][j] = $w_{ij}$ 。

如果i = j，那么A[i][j] = 0

其他情况，那么A[i][j]用“∞”符号表示

3. 邻接矩阵的特点

1.图的邻接矩阵表示是唯一的。

2.通过学习邻接矩阵的存储方法我们可知，对于无向图的邻接矩阵一定是一个对称矩阵，既然是对称矩阵，那么我们就可以考虑压缩存储。

而不少邻接矩阵是一个稀疏矩阵，当图的顶点较多时，可以采用三元组的方式存储。比如对于有向图的邻接矩阵来说，并不是对称的，更接近于稀疏矩阵，因此更适合采用三元组的方式存储。

3. 另外，从这样的邻接矩阵中我们还可以很方便的得到顶点的度。

对于无向图来说，邻接矩阵的第i行（或第i列）非零元素（或非∞元素）的个数正好是第i个顶点的度。比如从图1（无向图）的邻接矩阵中的第0行的非零元素（或非∞元素）个数为2，那么我们就可以知道无向图中第0个顶点的度就为2（不理解的小伙伴可以回到图1看一下），即从顶点0出发的边有2条，而邻接矩阵中的第i列中非零元素个数也是2，则说明到达顶点0的边也有2条。

对于有向图来说，邻接矩阵的第i行（或第i列）非零元素（或非∞元素）的个数正好是第i个顶点的出度（或入度）。比如从图2（有向图）的邻接矩阵中的第0行的非零元素（或非∞元素）个数为1，说明第0个顶点的出度为1。且图2（有向图）的邻接矩阵中的第0列中非零元素（或非∞元素）个数为1，说明第0个顶点的入度也是为1。

4. 采用邻接矩阵存储图，很容易确定图中任意两个顶点之间是否有边相连。要确定图中有多少条边，则必须按行，按列对每个元素进行检测，时间消耗较大。

4. 邻接矩阵的数据类型定义

图5

对于上图中这样的存储结构，我们要思考的是怎么用程序设计语言去定义邻接矩阵的数据类型，而前面我们说过：需要存储每个顶点的信息，存储每条边的信息；在实际应用中顶点可能存在某些意义，因此必须定义一个顶点类型，用于存放顶点的信息，定义如下：

#define MAXV <最大顶点个数>

#define LIMITLESS 9999   //9999表示∞

//顶点类型
typedef struct
{
    int no;             //顶点编号
    InfoType info;      //顶点其他信息
} VertexType; 

//图的定义：邻接矩阵
typedef struct 
{
    int n，e;                    //顶点数，边数
    int edges[MAXV][MAXV];      //邻接矩阵
    VertexType vexs[MAXV];      //存放顶点信息
} MGraph;