牛顿二项式定理

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二项式系数：
对于实数 $n$和整数 $k$
$\binom{k}{n} = \frac{\sum_{i=0}^{k-1}(r-i)}{ k! } , k >=1$
对于 $k=0$二项式系数为1，
对于 $k<=-1$二项式系数为0。

牛顿二项式定理：
对于 $0<=|x|<|y|$
$\begin{aligned}(x+y)^n&=y^n(\frac xy+1)^n\\ &=y^n\sum_{i=0}^{\infty} \binom{i}{n}\left(\frac xy\right)^i\\ &=\sum_{i=0}^{\infty} \binom in x^iy^{n-i} \end{aligned}$
前提条件是为了收敛。
如果是纯数字计算如计算 $\sqrt[3]{n}$
需要考虑收敛：
$\sqrt[3]{n} = (1 + n-1)^{\frac 13} = \sum_{i=0}^{\infty}\binom i{\frac 13}(n-1)^{n-i}$
好吧收敛好像还是有点慢。(废)
但如果是形式幂级数那就可以不用管收敛直接玩了。
比如：
卡特兰数： $C_i = \sum_{j=0}^{i-1} C_jC_{i-j-1}$
定义它的生成函数 $f(x) = \sum_{i=0}^{\infty} C_ix^i$
$f(x) = f^2(x)x+1$
$f^2(x)x-f(x)+1=0$
$f(x) = \frac{1 - \sqrt{1-4x}}{2x}$
考虑对 $\sqrt{1-4x}$二项式定理暴力展开
$(1-4x)^{\frac 12} = \sum_{i=0}^{\infty}\binom{i}{\frac 12}(-4x)^i$
而 $\binom{i}{\frac 12}=\frac{\frac 12\cdot \frac {-1}2 \cdot \frac{-3}2...\frac {3-2i}2}{1\cdot2...\cdot i}=\frac{1\cdot {(-1)} \cdot {(-3)}...{(3-2i)}}{1\cdot2...\cdot i\cdot 2^{i}}$
为了凑组合数，上下同时乘以 $(i-1)!$
$\binom{i}{\frac 12}=\frac{(-1)^{i-1}2^{i-1}(i!)1\cdot {(1)} \cdot {(3)}...{(2i-3)}}{2^{2i-1}*(i!)*(i!)}=\frac{(-1)^{i-1}(2i-2)!}{2^{2i-1}i(i-1)!(i-1)!}=\frac{(-1)^{i-1}}{i2^{2i-1}}\binom{i-1}{2i-2}$
$原式 =\frac {1-\sum_{i=0}^{\infty}-\frac{\binom{i-1}{2i-2}}{i}x^i}{2x}$
$x^n$的系数为 $C_n = \frac{\binom{n}{2n}}{n+1}$
这要不是知道结论，谁凑系数会去凑阶乘啊。。。。。。

然后许多生成函数的题都可以这样推出来O(1)算答案。（所以高精成了第二大考点）

比如说:BZOJ 3028: 食物