用初等变换法求分块矩阵的合同变换

一、用「初等变换法」求实对称矩阵所合同的对角阵

为了使本文完整，这里先阐述一下如何使用「初等变换法」求实对称矩阵所合同的对角阵。

在学习线性代数时，我们知道，对于任意一个 $n\times n$ 的实对称矩阵 $A$，可以使用「初等变换法」，求出可逆矩阵 $C$ 及对角矩阵 $D$，使得 $A$ 与 $D$ 合同，即 $C^{T}AC=D$，其中 $C^T$ 表示 $C$ 的转置。

具体做法：作 $2n\times n$ 矩阵

$$\left[\begin{array}{c}A\\ I\end{array}\right]\underset{对2n\times n矩阵施行相同的初等列变换}{\overset{对A施行初等行变换}{\to }}\left[\begin{array}{c}D\\ C\end{array}\right]$$

则 $C^{T}AC=D$。

注意，需要先施行初等行变换，然后立即对整个列施行相同的初等列变换。

例 1

已知实对称矩阵
$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 3& 5\end{array}\right]$$
用初等变换法求可逆矩阵 $C$ 及对角阵 $D$，使得 $A$ 与 $D$ 合同。
$$\left[\begin{array}{c}A\\ I\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 3& 5\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\underset{c_2-c_1}{\overset{r_2-r_1}{\to }}\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 2\\ 1& 2& 5\\ 1& -1& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\underset{c_3-c_1}{\overset{r_3-r_1}{\to }}\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 2\\ 0& 2& 4\\ 1& -1& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\underset{c_3-c_2}{\overset{r_3-r_2}{\to }}\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 1& -1& 1\\ 0& 1& -2\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

所求可逆矩阵 $C$ 及对角阵 $D$ 分别为
$$C=\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 0& 1& -2\\ 0& 0& 1\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$

且 $C^{T}AC=D$。

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二、用「初等变换法」求分块对称阵所合同的分块对角阵

下面，我们将实对称矩阵，拓展到分块对称阵，矩阵内的元素也不再局限于实数，可以是复数。我们不加证明地通过类比上面的初等变换法，给出求分块对称阵所合同的分块对角阵的初等变换法。

对于一个 $n\times n$ 的分块对称阵 $A$，可以使用「初等变换法」，求出可逆矩阵 $C$ 及分块对角矩阵 $D$，使得 $A$ 与 $D$ 合同，即 $C^{H}AC=D$，其中 $C^H$ 表示 $C$ 的共轭转置。

具体做法：作 $2n\times n$ 的矩阵
$$\left[\begin{array}{c}A\\ I\end{array}\right]\underset{对2n\times n矩阵施行相同的初等列变换}{\overset{对A施行初等行变换}{\to }}\left[\begin{array}{c}D\\ C\end{array}\right]$$
则 $C^{H}AC=D$。

另外，还需要了解分块矩阵的初等变换法则，如下：

• 分块矩阵的初等行变换规则

  • 把一个块行的左 $P$ 倍（ $P$ 是矩阵）加到另一个块行上；
  • 交换两个块行的位置
  • 用一个可逆矩阵左乘某一块行

• 分块矩阵的初等列变换规则

  • 把一个块列的右 $P$ 倍（ $P$ 是矩阵）加到另一个块列上；
  • 交换两个块列的位置
  • 用一个可逆矩阵右乘某一块列

• 需要注意行变换和列变换时，有「左」和「右」的区别。

• 而且（重点），对如果把一个块行的左 $P$ 倍（ $P$ 是矩阵）加到另一个块行上，其对应的相同的初等列变换是，把对应块列的右 $P^H$（注意这里有个共轭转置） 倍加到另一个块列上。

直接看下面的例子会比较容易理解。

例2

已知分块对角阵
$$B=\left[\begin{array}{cc}A& \alpha \\ {\alpha }^H& \frac{1}{{\lambda }_0}\end{array}\right]$$
其中 $A$ 是 $n\times n$ 的 Hermite 阵（即 $A^H=A$），且 $A$ 正定，$\alpha$ 是 $n$ 维单位列向量。用初等变换法求可逆矩阵 $C$ 及对角阵 $D$，使得 $B$ 与 $D$ 合同。

$$\left[\begin{array}{c}B\\ I\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A& \alpha \\ {\alpha }^H& \frac{1}{{\lambda }_0}\\ I_n& O\\ O& 1\end{array}\right]\underset{c_2-c_1({\alpha }^H{A}^{-1}{)}^H}{\overset{r_2-{\alpha }^H{A}^{-1}{r}_1}{\to }}\left[\begin{array}{cc}A& O\\ O& \frac{1}{{\lambda }_0}-{\alpha }^H{A}^{-1}\alpha \\ I_n& -(A^H{)}^{-1}\alpha \\ O& 1\end{array}\right]$$

所求可逆矩阵 $C$ 及对角阵 $D$ 分别为

$$C=\left[\begin{array}{cc}{I}_n& -(A^H{)}^{-1}\alpha \\ O& 1\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{cc}A& O\\ O& \frac{1}{{\lambda }_0}-{\alpha }^H{A}^{-1}\alpha \end{array}\right]$$
且 $C^{H}AC=D$。

需要注意的是，因为 $B$ 是分块矩阵，所以单位阵 $I$ 也得分块，而且分块方式要和 $B$ 一致。

三、应用-判断矩阵的正定性

看一道工程矩阵（也可能出自高等代数）的题目：

求一个分块对角阵，与原分块对称阵合同， 常用于分析一个分块矩阵的正定性，例如下面这题。
答案：

上面这道题的答案里用 $E$ 表示单位阵，前文中用的是 $I$ 需要注意一下。

这道题里的第一步求出与原矩阵共轭合同的矩阵，就是用到了本文的方法。
另外，两个矩阵如果共轭合同，它们的正定性将保持一致，所以可以通过初等变换，求出一个与原矩阵共轭合同的新矩阵，而且这个新矩阵的正定性很容易证明，那么原矩阵的正定性就随之证明出来了。