信号与系统——第一章 绪论

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信号的分类

确定信号和随机信号

$\begin{cases}确定信号：可以用确定时间函数表示的信号 随机信号\\随机信号：信号不能用确切的函数描述，在任意时刻的取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性 \end{cases}$

一些确定信号比如正弦波、余弦波、方波等
一些随机信号比如股市的k线，语音信号等

连续信号和离散信号

$\begin{cases}连续信号：在连续的时间范围内有定义的信号称为连续时间信号\\离散信号：在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信号 \end{cases}$


离散信号可表示为 $x(nT)$，通常取等间隔T，简写为x(n)，这种等间隔的离散信号也常称为序列。其中k称为序号。

周期信号和非周期信号

$\begin{cases}周期信号：是指一个每隔一定时间T，按相同规律重复变化的信号\\非周期信号：不具有周期性的信号称为非周期信号 \end{cases}$

周期信号的规律

• 两个周期信号 $x(t)，y(t)$的周期分别为 $T_1和T_2$，若其周期之比 $T_1/T_2$为有理数，则其和信号 $x(t)+y(t)$仍然是周期信号，其周期为 $T_1和T_2$的最小公倍数。
• 两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列
• 连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列
  $\begin{cases}sin2t+cos3t 是周期信号\\sin\pi t+cos2t 不是周期信号 \end{cases}$

信号类型的分辨

• 数字信号与离散信号：数字信号属于离散信号，但二者并不是完全等价，幅值为有限个的离散信号才是数字信号。比如某个离散信号，只取0，1，2这几个数的幅值，这便是数字信号，若是赋值范围是无限大，那就不是数字信号

典型连续时间信号

正弦信号

$f(t)=Ksin(\omega+\theta)$

• 周期 $T=\frac{2\pi}{\omega}$
• 角频率 $\omega=2\pi f$
• 正弦信号对时间的积分、微分后仍然是同频率余弦

指数信号

$f(t)=Ke^{at}$
$\tau=\frac{1}{|a|}$

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• 指数信号对时间的微、积分仍是指数
• $\begin{cases}a>0：信号将随时间而增长\\a<0:信号将随时间而衰减\\a=0：直流信号\end{cases}$
• $\tau$为指数信号时间常数， $\tau$越大，信号变化（增长或衰减）越快

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复指数信号

$f(t)=Ke^{st}，s=\sigma+j\omega$
$f(t)=Ke^{at}=Ke^{\sigma t}cos(\omega t)+Ke^{\sigma t}sin(\omega t)$

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• $s=\sigma+j\omega$为复数，称为复频率
• $\sigma,\omega$都是实常数
• $\sigma$的量纲是 $1/s$, $\omega$的量纲是 $rad/s$
• $\begin{cases}\sigma=0,\omega=0:直流信号\\\sigma>0,\omega =0:升指数信号\\\sigma<0,\omega=0:衰减指数信号\end{cases}$
• 振荡信号 $\begin{cases}\sigma =0,\omega\not=0:等幅\\\sigma>0,\omega \not=0:增幅\\\sigma<0,\omega\not=0:衰减\end{cases}$

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阶跃信号

单位阶跃信号：
$u(t)=\begin{cases}0\space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space (t<0)\\1\space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space (t>0)\end{cases}$
图像表示：

冲激信号

$\begin{cases}\delta(t)=0\space \space \space \space\space\space\space\space\space\space \space \space \space \space \space \space \space (t\not=0)\\\int _{-∞}^{∞}\delta(t)dt=1\space \space \space \space \space \space (t>0)\end{cases}$
图像表示：

(在后面会对冲激信号和阶跃信号详细阐述)

抽样信号

$Sa(t)=\frac{\sin t}{t}$

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• $Sa(-t)=Sa(t)$，即它是偶函数
• $\lim\limits_{t\rightarrow0}Sa(t)=1$
• $\lim\limits_{t\rightarrow∞}Sa(t)=0$
• $Sa(t)=0\implies t=\pm n\pi\space\space\space\space\space\space\space\space(n=1,2,3....)$
• $\int_{0}^{∞}Sa(t)dt=\frac{\pi}{2},\int_{-∞}^{∞}Sa(t)=\pi$

---

% matlab 代码
clear ;
close all;
clc;
t=-3*pi:pi/20:3*pi;
y=sinc(t);
plot(t,y);
xlabel('t');
ylabel('y');
grid on;

钟形脉冲函数(高斯函数)

$f(t)=Ee^{-(\frac{t}{\tau})^2}$

信号的基本运算

• 常规运算 $\begin{cases}线性运算\\乘除运算\end{cases}$
• 数学运算 $\begin{cases}微分运算\\积分运算\end{cases}$
• 波形变换 $\begin{cases}反褶变换\\移位变换\\尺度变换\end{cases}$
• 相互运算 $\begin{cases}卷积运算\\相关运算\end{cases}$

信号的四则运算

两信号的相加、相减、相乘运算指同一时刻两信号之值对应相加减乘
如下图两信号 $f_1(t)和f_2(t)$:

$f_1(t)+f_2(t)$:

$f_1(t)×f_2(t)$:

信号的波形变换

反褶

将 $f(t)\rightarrow f(-t)$, $x (n) → x (– n)$ 称为对信号 $f$的反转或反折。从图形上看是将 $f$ 以纵坐标为轴反转180度

移位

遵循“左加右减”原则，即 $f(t+t_0)$时，图像向左平移， $f(t-t_0)$时，图像向右平移（这里 $t_0>0$）

尺度变换

遵循“大缩小展”原则，即 $f(at)$中， $\begin{cases}a>1\space\space\space\space\space 图像压缩为原来的\frac{1}{a}\\a<1\space\space\space\space\space图像展开为原来的\frac{1}{a}倍\end{cases}$
（这里 $a>0$）

几种变换组合

移位、反褶、尺度变换相结合，三种运算的次序可任意。但一定要注意始终对时间t 进行。
例如： $f(t)\rightarrow f(-2t-4)$

1. 先移位、再尺度变换、最后反褶.
   右移四位： $f(t)\rightarrow f(t-4)$
   压缩1/2： $f(t-4)\rightarrow f(2t-4)$
   反褶： $f(2t-4)\rightarrow f(-2t-4)$
   （可以注意到，在尺度变换的时候，进行的是 $2t-4$而不是 $2(t-4)$，反褶也是只对 $t$加了负号）

2. 尺度变换、再移位、最后反褶
   压缩1/2： $f(t)\rightarrow f(2t)$
   右移两位： $f(2t)\rightarrow f(2(t-2))\rightarrow f(2t-4)$
   反褶： $f(2t-4)\rightarrow f(-2t-4)$

3. 先反褶，再移位，最后尺度变换
   反褶： $f(t)\rightarrow f(-t)$
   左移四位： $f(-t)\rightarrow f(-t-4)$
   压缩1/2： $f(-t-4)\rightarrow f(-2t-4)$
   (先进行反褶会增大变换难度，所以反褶一般最后处理)

信号的积分和微分

• 微分：信号f(t)的微分运算指 $f(t)$对 $t$取导数，即 $f'(t)=\frac{d}{dt}f(t)$
• 积分：信号f(t)的积分运算指 $f(t)$在 $（-∞，t）$区间内的定积分，表达式为： $\int_{-∞}^tf(\tau)d\tau$

信号的微分和积分作用效果：

1. 信号经过微分运算后突出显示了它的变化部分，起到了锐化的作用
2. 信号经过积分运算后，使得信号突出变化部分变得平滑了，起到了模糊的作用；利用积分可以削弱信号中噪声的影响。

即：微分 $\rightarrow$锐化；积分 $\rightarrow$平滑

阶跃信号和冲激信号

单位阶跃信号

$u(t)=\begin{cases}0\space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space (t<0)\\1\space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space (t>0)\end{cases}$
有延迟的单位阶跃信号
$u(t-t_0)=\begin{cases}0\space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space (t<t_0)\\1\space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space (t>t_0)\end{cases}$
即当 $t_0>0$时，信号向右做 $t_0$个单位的平移变换：

阶跃信号的应用——窗函数（门函数）
$G_\tau (t)=u(t+\frac{\tau}{2})-u(t-\frac{\tau}{2})$

窗函数的应用：

1. 任何信号乘以一个窗函数，就只剩窗函数“窗口”里的内容了
   如：
2. 特殊函数的表示，如 $sgn(x)$
   $sgn(x)=\begin{cases}1\space\space\space\space\space\space(t>0)\\-1\space\space\space(t<0)\end{cases}=u(t)-u(-t)=2u(t)-1$

单位阶跃信号的积分——单位斜变信号

$R(t)=\begin{cases}0\space\space\space\space\space\space(t<0)\\t\space\space\space\space\space\space(t\geqslant0)\end{cases}$
$R(t)=\int_{-∞}^∞u(t)$

三角脉冲信号
$f(t)=\begin{cases}\frac{K}{\tau}R(t)\space\space\space\space\space(0\leqslant t\leqslant \tau)\\0\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space(other)\end{cases}$

单位冲激信号

单位冲激信号的定义及图像

冲激函数的性质

1. 冲激函数与单位阶跃函数的关系： $\int_{-∞}^t\delta(\tau)d\tau=u(t),\delta(t)=\frac{d}{dt}u(t)$
2. 抽样性： $\int_{-∞}^∞f(t)\delta(t-t_0)dt=f(t_0)$
3. 奇偶性：为偶函数， $\delta(-t)=\delta(t)$
4. 尺度变换性质：
   （这里 $a$和 $t_0$为常数，且 $a\not=0$）

冲激偶信号——冲激函数的导数

冲激偶信号的定义和图像

冲激函数的微分，呈现正负极性的一对冲激，称为冲激偶信号
图像如下：

冲激偶的性质

信号的分解

信号从不同角度分解：

• 直流分量与交流分量
• 偶分量与奇分量
• 脉冲分量
• 实部分量与虚部分量
• 正交函数分量
• 利用分形理论描述信号

直流分量与交流分量

$f(t)\rightarrow f_D(t)+f_A(t)$
$f_D(t)$为信号直流分量， $f_A(t)$为交流分量

信号的直流分量值的是信号的平均值

偶分量与奇分量

数学中，任何一个函数可以分解为偶函数和奇函数，信号也是如此
$f(t)\rightarrow f_e(t)+f_o(t)$
$f_e(t)$为信号偶分量， $f_o(t)$为奇分量

分解方法：

1. 判断信号是否为单纯的偶信号或者是奇信号
2. 若不是，则可先将信号反褶，即 $f(t)\rightarrow f(-t)$
3. 利用 $f_e=\frac{1}{2}[f(t)+f(-t)]$和 $f_o=\frac{1}{2}[f(t)-f(-t)]$对信号进行分解

脉冲分量

脉高： $f(\tau)$

脉宽： $\Delta\tau$

存在区间： $u(t-\tau)-u(t-\tau-\Delta\tau)$

此脉冲可表示为： $f(\tau)[u(t-\tau)-u(t-\tau-\Delta\tau)]$

实部分量与虚部分量

对于瞬时值为复数的信号f(t)可分解为实、虚部两个部分之和
$f(t)\rightarrow f_r(t)+jf_i(t)$
其实部为： $f_r(t)=\frac{1}{2}[f(t)+f^*(t)]$

虚部为： $jf_i(t)=\frac{1}{2}[f(t)-f^*(t)]$

系统模型及分类

连续系统与离散系统

输入和输出均为连续时间信号的系统称为连续时间系统。
输入和输出均为离散时间信号的系统称为离散时间系统。
连续时间系统的数学模型是用微分方程来描述，而离散时间系统的数学模型是用差分方程来描述。

动态系统与即时系统

若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史状况有关，则称为动态系统或记忆系统。

判别方法：
含有记忆元件(电容、电感等)的系统是动态系统。否则称即时系统或无记忆系统。

线性系统与非线性系统

能同时满足齐次性与叠加性的系统称为线性系统。满足叠加性是线性系统的必要条件。不能同时满足齐次性与叠加性的系统称为非线性系统。

判别方法：

若有激励 $e(t)$，响应 $r(t)$,之间满足 $r(t)=F[e(t)]$

1. 齐次性： 若 $F[ae(t)]=aF[e(t)]$，则说明该系统有齐次性
2. 可加性： 若 $F[e_1(t)+e_2(t)]=F[e_1(t)]+F[e_2(t)]$，则说明该系统有可加性

在判别线性系统的时候，齐次性可加性需同时满足，故可一起判别:
若 $F[C_1e_1(t)+C_2e_2(t)]=C_1F[e_1(t)]+C_2F[e_2(t)]$，则说明该系统是线性系统

时不变系统与时变系统

时不变性质: 若系统满足输入延迟多少时间，其激励引起的响应也延迟多少时间

判别方法：

1. 有激励 $e(t)$，响应 $r(t)$,之间满足 $r(t)=F[e(t)]$，若输入延迟 $t_0$个单位时间长度，即 $e(t-t_0)$,若有响应 $r(t-t_0)$，则说明该系统为时不变系统，反正则为时变系统
2. 直观判断方法：若 $e (t)$前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统

因果系统与非因果系统

激励引起的响应仅与该时刻之前的激励有关，即该系统无法预见未来。也可理解为响应与未来输入有关。

判别方法：
有激励 $e(t)$，响应 $r(t)$,之间满足 $r(t)=F[e(t)]$,给出某一时刻激励有 $r(t_0)=e(t_1)$,若 $t_1>t_0$说明响应在激励之前，也就是相应遇见了未来的激励，所以该系统为非因果系统，否则为因果系统

稳定系统与不稳定系统

若对有界的激励 $e(t)$，产生的响应 $r(t)$也是有界时，则称该系统为有界输入有界输出稳定，简称稳定。

可逆与不可逆系统

• 如果已知可逆系统的输出，就可计算其唯一的输入
• 原系统与其可逆系统就构成一个恒等系统

例如：

• $r(t)=\frac{d}{dt}e(t)$是不可逆系统，因为 $\int\frac{d}{dt}e(t)$的结果不唯一
• $r(t)=\int_{-∞}^{t}e(\tau)d\tau$是可逆系统，因为 $\frac{d}{dt}\int_{-∞}^{t}e(\tau)d\tau$的结果唯一

系统的描述

• 描述连续动态系统的数学模型是微分方程
• 描述离散动态系统的数学模型是差分方程

1. 解析描述——建立数学模型
2. 系统的框图描述