算法老师在最短路径问题上讲了很多，在讲了贪心算法之后。紧接着讲最短路径，可以说是一脸懵逼。最近开始复习，总结一下。方法大约有这些。
所谓最短路径，就是指在图中，两个顶点之间经过的边上的权值之和最少的路径，并且我们称路径上的第一个顶点是源点，最后一个顶点是终点。
首先单源最短路径问题中，我们常见的当迪杰斯特拉算法莫属了。该算法解决的是带权重的有向图的单元最短路径问题，该算法要求所有边的权重都是非负的，该算法在运行过程中需要维持的关键信息是一组结点集合S，从源节点s到该集合中每个节点之间的最短路径已经被找到，算法重复从节点集合{V-S}中选择最短路径估计最小的节点u，将u加入到集合S，然后对所有从u发出的边进行松弛。
其中EXTRACT-MIN(Q)是一个最小优先队列弹出顶端节点的操作。算法前6行作为初始化操作，初始的时候，增加了一个π，算法导论上解释这个标志定义为节点的前驱。比如d[v]=d[u]+w(u,v),这时候咱们的v节点与源节点s是通过u连接的，因为从s直接到v要比s->u->v路径长度要长，所以这时候将π[v]设置为u。从第7行开始，遍历整个优先队列。对所有结点进行松弛操作，找到从s出发到每一个节点的最短路径。因为Dijkstra算法总是选择集合V-S中最轻或者最近的节点来加入到集合S中，该算法使用的是贪心策略。该算法的总运行时间依赖于最小优先队列的实现。
上图是对应不同的最小优先队列结构的时间复杂度。这里面的decrea-key是一个relax操作。
如果遇到了负权值的情况，我们同样有相应的解决方法。Bellman-Ford法。给定带权重的有向图G=（V,E）和权重函数w：
E->R.Bellman-Ford法返回一个布尔值，以表示是否存在一个从源节点到达的权重为负值的环路。如果存在这样的一个环路，将不存在最短路径。该算法通过对边进行松弛操作来渐进的降低从源节点s到每个节点v的最短路径的估值v.d。直到该估计值与实际的最短路径权重相同时为止。
算法前三行对图中所有的d值进行初始化，然后对每条边进行|V|-1次处理，每一次处理都对应的是算法5~7行for循环的一次循环，该循环对图的每条边进行一次松弛操作。我所理解的松弛操作就是对图中的所有顶点找到从源点s到这一个点的最短路径即可。在进行了松弛操作之后，算法8~11行负责检查图中是否存在权重为负值的环路，并返回与之相适应的布尔值。
初始化操作时间复杂度为O（V），对边进行松弛操作的时间复杂度为O（VE），最后的验证操作时间复杂度O（E），所以总的时间复杂度为O（VE）。
单元最短路径的问题还有一个方法就是BFS，这个方法的适用条件是图中边上的权值为1。所以这个可以使用广度优先遍历,因为最短路径的最近最短优先原则，因为权值都是1，所以我们可以得到最近优先的原则，这就是使用BFS而不是DFS的6原因。