F. Kuroni and the Punishment （随机 + 思维）

题目：传送门

题意：给你 n 个数，然后你每次操作可以选择任意一个数 a[ i ]，让它加 1 或者减 1，问最少需要操作几次，可以使得所有 a[ i ] 的 gcd 大于 1

2 <= n <= 2e5, 1 <= ai <= 1e12

 

思路：

考虑最后的 gcd = 2，那这样的话只要把所有奇数加 1 变成偶数就行了，这样的操作数最多是 n 次，也就是每个 a[ i ] 都操作一次。

那如果还有更优的答案的话，那至少有 n / 2 个数是操作 1次或者0次的，因为你最多可以有 n / 2 个操作两次的。

这样的话，你随机的在 n 个 a[ i ] 中选择一个数，那么最终的 gcd 是 a[ i ] 或 a[ i ] - 1 或 a[ i ] + 1 的某个质因子的概率是 1 / 2。

因为你至少有 n / 2 个数是操作一次或者零次的嘛，那我们随机的选择某个 a[ i ]，假设它是操作一次或者零次的那个数。

这样的话， 假设我们随机选择了 100 个 a[ i ]，那它们都不是操作一次或者零次的数的概率是 ( 1 / 2 ) ^ 100，这是一个很小的数。

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define mem(i, j) memset(i, j, sizeof(i))
#define rep(i, j, k) for(int i = j; i <= k; i++)
#define dep(i, j, k) for(int i = k; i >= j; i--)
#define pb push_back
#define make make_pair
#define INF INT_MAX
#define inf LLONG_MAX
#define PI acos(-1)
#define fir first
#define sec second
using namespace std;

const int N = 1e6 + 5;

int pre[N], vis[N], tot, n;

LL a[N];

set < LL > Q;

void init() {
    rep(i, 2, N - 5) {
        if(!vis[i]) pre[++tot] = i;
        rep(j, 1, tot) {
            if(i * pre[j] > N - 5) break;
            vis[i * pre[j]] = 1;
            if(i % pre[j] == 0) break;
        }
    }
}

void add(LL x) {
    for(int i = 1; i <= tot && x > 1 && pre[i] * pre[i] <= x; i++) {
        if(x % pre[i] == 0) {
            Q.insert(pre[i]);
            while(x % pre[i] == 0) {
                x /= pre[i];
            }
        }
    }
    if(x > 1) Q.insert(x);
}

LL solve(LL x) {
    LL res = 0;
    rep(i, 1, n) {
        LL add = (a[i] < x ? x - a[i] : min(a[i] % x, x - a[i] % x));
        res = min(1LL * n, res + add);
    }
    return res;
}

int main() {
    init();
    scanf("%d", &n);
    rep(i, 1, n) scanf("%lld", &a[i]);
    shuffle(a + 1, a + 1 + n, default_random_engine (time(0)));

    rep(i, 1, min(100, n)) {
        add(a[i]);
        add(a[i] + 1);
        if(a[i] > 1) add(a[i] - 1);
    }

    LL ans = n;

    for(LL v : Q) {
        ans = min(ans, solve(v));
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}