Codeforce 1305 F. Kuroni and the Punishment（思维 + 随机化算法 + shuffle函数使用）

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好题，第一次接触随机化算法

题目大意：有 n 个正整数 $a_i$，执行一次操作可以选择某个 $a_i$ 让它 + 1 或 - 1，并保持仍是正整数，为至少需要多少次操作可以使整个序列的 gcd 不等于 1。

gcd 不为 1，只要每个数都整除某个质因子，设其整除的质因子为 $p$，每个数字可以贪心统计答案：
若 a[i] >= p，ans += min(a[i] % p,p - a[i] % p)
若 a[i] < p，ans += p - a[i] % p 因为执行操作必须保证数字还是正整数，只能往上加不能减

一种 $navie$ 的做法就是枚举所有的质因子，并贪心统计答案。
当枚举的质因子为 2 时，每个数字最多需要操作一次，于是得到一个答案的上限：n

于是可以得知，在最优情况下，需要操作一次以上的数不超过一半，至少有一半的数最多只需要操作一次。一个数操作一次后有三种可能 ：x,x + 1,x - 1，如果能找到一个数字它在最优解的情况下最多只操作一次，对这数字操作一次或零次的三种情况进行求解，就一定能得到答案。

在这个序列随机选一个数，有至少 $\frac{1}{2}$ 的概率选中的数 它在最优解的情况下最多只需要操作一次。

用随机化算法，进行随机抽取30次并求解，得不到答案的概率至少为 $2^{-30}$，概率非常小。

进行随机抽取可以用 shuffle 函数，shuffle 函数的作用是 使用一个随机数引擎将 [L,R] 内的数字打乱。
参考博客:shuffle 使用

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代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 2e5 + 10;
typedef long long ll;
int n;
ll a[maxn],ans;
vector<int> g;
vector<ll> h;
void insert(ll x) {
    
    
	for (ll i = 2; i * i <= x; i++) {
    
    
		if (x % i == 0) {
    
    
			while (x % i == 0) x /= i;
			h.push_back(i);
		}
	}
	if (x > 1) h.push_back(x);
}
void solve() {
    
    
	ans = n;
	for (auto v : h) {
    
    
		ll res = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
    
			if (a[i] >= v) res += min(a[i] % v,v - a[i] % v);
			else res += (v - a[i] % v);
		}
		ans = min(ans,res);
	}
}
int main() {
    
    
	scanf("%d",&n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
    
		scanf("%lld",&a[i]);
		g.push_back(i);
	}
    unsigned seed = chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count();
    shuffle(g.begin(),g.end(),default_random_engine (seed));
    for (int i = 0; i < g.size() && i < 30; i++) {
    
    
    	insert(a[g[i]]);
    	insert(a[g[i]] + 1);
    	if (a[g[i]] > 1) insert(a[g[i]] - 1);
	}
	solve();
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}