4.1 INTRODUCTION

Petri网为DES的非定时模型提供了自动机的替代方法。Petri网是一种根据某些规则操纵事件的设备。它的功能之一是它包含可启用事件的显式条件。这允许表示非常通用的DES，其操作取决于潜在的复杂控制方案。至少对于小型系统，可以方便地以图形方式描述此表示形式，从而生成Petri网图； Petri网图非常直观，可以捕获有关系统的许多结构信息。我们将看到，自动机始终可以表示为Petri网。另一方面，并非所有的Petri网都可以表示为有限状态自动机。

4.2 PETRI NET BASICS

定义Petri网的过程涉及两个步骤。首先，我们定义Petri网图，也称为Petri网结构，它类似于自动机的状态转移图。这是重点。然后，我们在该图上连接一个初始状态，一组标记状态和一个过渡标记函数，从而得到完整的Petri网模型，

4.2.1 Petri Net Notation and Definitions

在Petri网中，事件与过渡相关。为了发生过渡，可能必须满足几个条件。与这些条件有关的信息包含在各个地方。其中一些地方被视为过渡的“输入”；它们与发生此过渡所需的条件相关。其他地方被视为过渡的输出；它们与受此过渡的发生影响的条件相关。过渡，位置以及它们之间的某些关系定义了Petri网图的基本组成部分。 Petri网图具有两种类型的节点：位置和过渡，以及连接这些节点的弧。从弧不能直接连接相同类型的节点的意义上讲，它是一个二部图。相反，弧线将放置节点连接到过渡节点，并将过渡节点连接到放置节点。

Petri网图的精确定义如下：
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1.通常，我们用P = {p1，p2，…，pn}表示位置集，用T = {t1，t2，…，tm}表示过渡集；因此，在本章的其余部分，| P | = n和| T | =m典型的弧的形式为（pi，tj）或r（tj，pi），与弧有关的权重为正整数。注意，我们可以允许P和T是可数的，而不是像自动机中的状态集那样的有限集。
2.首先，状态转换图的节点对应于从单个集合X中选择的状态。在Petri网图中，节点可以是从集合P中选择的位置，也可以是从集合T中选择的转换。状态转换图每个导致状态转换的事件都有一个弧线。允许多个弧连接两个节点，或者等效地，我们为每个弧分配一个权重，代表弧的数量。

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注意事项：
绘制Petri网图时，我们需要区分两种类型的节点：位置和过渡。约定是使用圆圈表示位置，并使用条形图表示过渡。连接位置和过渡的弧表示弧集A的元素。因此，从位置pi到过渡tj定向的弧表示pi∈I（tj）。此外，如果w（pi，tj）= k，则来自pi到tj的k条弧，或者等效地，一个弧及其权重k。类似地，如果存在从过渡点tj到位置pi的k条弧，这意味着pi∈O(tj）and w(tj，pi）= k。通常，我们将通过图形上的多个弧线表示权重。但是，当Petri net中包含较大的权重时，将权重写在弧上会更有效。如果在Petri网图的圆弧上未显示任何权重，我们将假定它为1。
写成此：
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Example 4.1 (Simple Petri net graph)

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A代表弧集。

Example 4.2

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解读：值得一提的是，过渡t4没有输入位置。如果我们将过渡视为事件，并将地点视为与事件发生相关的条件，则与t4对应的事件将无条件地发生。相反，例如，对应于转变t2的事件取决于与地点p1和p2有关的某些条件。
原因：因为与输入条件有关。若没有，则无条件的发生。

4.2.2 Petri Net Markings and State Spaces

Petri网图中的过渡表示驱动DES的事件，而位置描述了这些事件发生的条件。
在此框架中，我们需要一种机制来指示是否实际上满足了这些条件。通过向场所分配令牌来提供此机制。令牌是我们“放置在某个地方”的事物，本质上是表示该地方描述的条件得到满足的事实。将令牌分配给Petri网图的方式定义了标记。

形式上，Petri网图（P，T，A，w）的标记x是函数x：P→N = {0,1,2，…}。 T h u s，标记x定义行向量x = [x（p1），x（p2），…，x（pn）]，其中n是Petri网中的位数。此向量的第i个条目指示在pi处的令牌（非负整数）数量，x（pi）∈N。在Petri网图中，令牌由位于适当位置的黑点指示。

Definition. (Marked Petri net)

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Example 4.3

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x表示位置的令牌的数目。

Definition. (Enabled transition)

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对于输入到过渡tj的所有位置pi，当pi中的令牌数至少等于连接pi到tj的弧的权重时(也就是输入边数)，启用Petri网过渡tj。
如上所述，由于位置与发生转变的条件相关联，因此，当满足发生转变的所有条件时，便可以启用转变。令牌是用于确定条件是否满足的机制。在Petri网的给定状态下启用的过渡集与在自动机的给定状态下设置的活动事件等效。

令牌数的关系：

4.2.3 Petri Net Dynamics

在自动机中，状态转移机制由状态转移图中连接节点（状态）的弧直接捕获，等效地由转移函数f捕获。
Petri网中的状态转换机制是通过在网络中移动令牌并因此更改Petri网的状态来提供的。启用过渡后，我们说它可以触发也可以发生。
Petri网的状态转换函数是通过触发启用的过渡导致Petri网的状态变化来定义的。

Definition. (Petri net dynamics)

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Example 4.4 (Firing of transitions)

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a->b->c->d

Definition. (Reachable states)

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State Equations

我们首先定义触发向量u，即形式为m维的行向量
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在u中，其中唯一的1出现在第j个位置j∈{1，…，m}，以指示第j个过渡当前正在触发的事实。
a_ji是一个Petri网A的入射矩阵，一个m×n矩阵。这与更新x（pi）时出现在中的权重差匹配。
状态方程描述了由于“输入” u（即特定转换触发）而导致的状态转换过程。 （4.5）中的第i个方程正好是方程（4.2）。因此，我们看到f(x，tj）= x + uA，其中f(x，tj）是我们前面定义的转换函数。参数tj在这个函数里表示它是u中的第j个条目，非零。状态方程式提供了方便的代数工具，并提供了纯图形方法的替代方法，用于描述激发跃迁和改变Petri网状态的过程。