1.概况
斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=3，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963年起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。
2.Java实现
public class Test {
public static void main(String[] args) {
System.err.println(fibonacci(3)); // 2
}
public static int fibonacci(int n) {
if (n == 1 || n == 2) {
return 1;
}
return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2);
}
}3.应用
1>在你面前有一个n阶的楼梯，你一步只能上1阶或2阶。请问，当N=11时，你可以采用多少种不同的方式爬完这个楼梯（）；当N=9时呢？
答： 144，55
当台阶只有一阶时，只能走一步，只有一种走法。
当两级台阶时，可以走一步，也可以一次走两步，有两种走法。
当三级台阶时，可以走一步，走三次。可以先走一步，再两步。也可以，先两步，再一步。总共三种方法。 可以看到当台阶是3时，第1级台阶选中之后(一种)，剩下可以走的方式恰好是台阶为2时的总数，总的数量为前两个之和，所以是f(3)=f(1)+f(2)。即，f(n)=f(n-2)+f(n-1)，总结起来刚好是一个斐波那契数列。
public class Test {
public static void main(String[] args) {
System.err.println(fibonacci(11) + "|" + fibonacci(9)); // 144|55
}
public static int fibonacci(int n) {
if (n == 1) {
return 1;
} else if (n == 2) {
return 2;
} else {
return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2);
}
}
}2>剑桥offer之跳台阶
题目描述：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法（先后次序不同算不同的结果）。
解题思路：
第一阶有只能一步，一种；，第二阶可以两次一步、一次两步两种
- 若楼梯阶级 n = 3
- 跳 2 步到 3：剩下的是第一步没跳，起始跳到第一步只有一种
- 跳 1 步到 3：剩下的是第二步没跳，起始跳到第二步有两种
- 若楼梯阶级 n = n
- 跳 2 步到 n：剩下的是第 n - 2 步没跳，起始跳到第 n - 2 步设它为 pre2 种
- 跳 1 步到 n：剩下的是第 n - 1 步没跳，起始跳到第 n - 1 步设它为 pre1 种
Java源码实现：
public class Solution {
public int JumpFloor(int target) {
if (target == 1) return 1;
if (target == 2) return 2;
if (target == 3) return 3;
return JumpFloor(target - 1) + JumpFloor(target - 2);
}
}3>剑桥offer之变态跳台阶
题目描述：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
解题思路：
设n级台阶有f(n)种跳法，根据最后一次跳台阶的数目可以分解为最后一次跳一级，则前面需要跳n−1 级，有f(n−1)种跳法；最后一次跳两级，则前面需要跳n−2级，有f(n−2)种跳法。以此类推 易知，
f(n)=f(n−1)+f(n−2)+……f(0)
f(n−1)=f(n−2)+……f(0)
两式相减得，
f(n)=2f(n-1)
Java源码实现：
public class Solution {
public int JumpFloorII(int target) {
return 1<<(target-1);
}
}4>剑桥offer之矩阵覆盖
题目描述：我们可以用2*1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？
解题思路（转载）：
- n = 1 的时候
- 只能横着覆盖，一种
- n = 2 的时候
- 可以横着和竖着覆盖，两种
- n = 3 的时候
- 第三级横着覆盖，用了一级，剩下 n = 2，有两种覆盖方法
- 第三季竖着覆盖，用了两级，剩下 n = 1，有一种覆盖方法
- 总共有 3 种
- n = 4 的时候
- 第 4 级横着覆盖，用了一级，剩下 n = 3，有三种覆盖方法
- 第 4 级竖着覆盖，用了两级，剩下 n = 2，有两种覆盖方法
- 总共有 5 种方法
- n = n 的时候
- 第 n 级横着覆盖，用了一级，剩下 n = n - 1，所以关注第 n - 1 种有几种覆盖方法
- 第 n 级竖着覆盖，用了两级，剩下 n = n - 2，所以关注第 n - 2 种有几种覆盖方法
- 总和为两种情况的总和
从 n = 1 到 n = 4 的示意图如下：
所以回答上面的问题，涂掉最后一级矩阵的时候，可以选择使用横向完成，也可以使用竖向完成，横向涂剩下 n - 1 阶，竖向涂剩下 n - 2 阶
Java源码实现：
public class Solution {
public int RectCover(int target) {
if (target == 0) return 0;
if (target == 1) return 1;
if (target == 2) return 2;
return RectCover(target - 1) + RectCover(target - 2);
}
}