算法 - 斐波那契数列

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）

定义

斐波那契数列指的是这样一个数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368……..
自然中的斐波那契数列
自然中的斐波那契数列
这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和
python实现：

1. 台阶问题

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法

分析：1）当n = 1， 只有1中跳法；当n = 2时，有两种跳法；当n = 3 时，有3种跳法；当n = 4时，有5种跳法；当n = 5时，有8种跳法；…….

实现一：

fib = lambda n: n if n <= 2 else fib(n - 1) + fib(n - 2)

>>> fib = lambda n: n if n <= 2 else fib(n - 1) + fib(n - 2)
>>> fib(1)
1
>>> fib(2)
2
>>> fib(3)
3
>>> fib(4)
5
>>> fib(5)
8
>>> fib(6)
13

2. 我们可以用2*1的小矩形（下图左侧）横着或者竖着去覆盖更大的矩形，请问用8个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*8的大矩形（下图右侧），总共有多少种方法？

分析
初看这道题跟斐波那契数列鸡毛关系也没有​，但是分析一下的话，还是会发现规律的。比如如果让第一个2*1小矩形直接横着去覆盖右侧的第一列矩形块的话，现在还剩下7个2*1小矩形要覆盖右侧大矩形剩余的2*7矩形块了，这不就转化为子问题了吗？如果让第一个2*1小矩形竖着去覆盖，那么第二个2*1小矩形只能也去竖着去覆盖，好补齐（因为这里8个2*1小矩形没有什么差别，所以只要最终覆盖的形状一样，每个小矩形不管处于某个位置都无关紧要），这种情况下剩余的6个2*1小矩形就要覆盖剩余的2*6矩形块了，也转化为了子问题。所以f(8) = f(7) + f(6)，也转化为了斐波那契数列问题，代码同上，其他细节问题也不再讨论。

3. 写一个函数，输入n，求斐波那契数列的第n项

def fib(n):
  i, a, b = 0, 0, 1
  while i < n:
    a, b = b, a+b
    i = i + 1
  return a

>>> fib(1)
1
>>> fib(2) 
1
>>> fib(3)
2
>>> fib(4)
3
>>> fib(5)
5
>>> fib(6)
8

得定义第一项和第二项是啥