算法改进（斐波那契数列）

斐波那契数列指的是这样一个数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368…
这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。

递推公式：
斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …
如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N*），那么这句话可以写成如下形式：:F(n)=F(n-1)+F(n-2)
显然这是一个线性递推数列。

所以我们可以用递归解决这个问题：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int fib(int n){
    if(n<1)
        return -1;
    if(n==1 || n==2)
        return 1;
    return fib(n-1)+fib(n-2);
}
int main (){
    int n;
    cin >> n;
    cout << fib(n) << endl;
    return 0;
}

如果用递归，它的算法复杂度会呈指数阶的上涨，这是我们要避免的超高复杂度。所以我百度学习了几种优化的方法。

把指数阶降到多项式阶优化到 O(n) ：
我们不需要每一次都去把它的每一项都加起来，只需要储存它每一项的数据就好了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int fib(int n){
    if(n<1)
        return -1;
    int a[n+1]; // a[0]没有用
    a[1]=1;
    a[2]=1;
    for(int i=3;i<=n;i++)
        a[i]=a[i-1]+a[i-2];
    return a[n];
}
int main (){
    int n;
    cin >> n;
    cout << fib(n) << endl;
    return 0;
}

利用迭代法把空间复杂度优化到 O(1) ：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int fib(int n){
    int i,s1,s2;
    if(n<1)
        return -1;
    if(n==1 || n==2)
        return 1;
    s1=1;
    s2=1;
    for(i=3;i<=n;i++){
        s2=s1+s2; // 辗转相加法
        s1=s2-s1; // 记录前一项数据
    }
    return s2;
}
int main (){
    int n;
    cin >> n;
    cout << fib(n) << endl;
    return 0;
}