递归算法实现斐波那契数列

假定兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？

这就是著名的斐波那契数列，也称作兔子数列。

一、问题分析

刚开始，有1对幼兔，兔子总对数为1；

经过一个月后，幼兔长为小兔，兔子总对数为1；

经过二个月后，幼兔长大为成年兔子，并生出1对幼兔，兔子总对数为2对；

经过三个月后，成年兔子兔子再生出1对幼兔，幼兔长大为小兔，兔子总对数达到3对；

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依次类推可以得到下表：

月份	0	1	2	3	4	5	6	...
幼兔对数	1	0	1	1	2	3	5	...
小兔对数	0	1	0	1	1	2	3	...
成兔对数	0	0	1	1	2	3	5	...
总对数	1	1	2	3	5	8	13	...

根据上表可以发现，对于兔子总对数，从第三项开始，每一项均为前两项之和。

二、斐波那契数列

在数学上，斐波纳契数列以如下被以递推的方法定义：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=3，n∈N*），

下面让我们通过递归算法来求解这个兔子数列吧。

三、不同算法实现

package com.liao.algorithm;

import java.util.Scanner;

public class Recursion {
	private static int a;//输入月份数
	static int t1, t2, t3;//统计代码运行次数

	public static void main(String[] args) {
		while (a <= 0) {
			System.out.println("请输入经过月份（1～n）:");
			a = new Scanner(System.in).nextInt();
		}
		System.out.println(a + "个月后，兔子总数为：" + fib1(a) + ",运行次数：" + t1);
		System.out.println(a + "个月后，兔子总数为：" + fib2(1, 1, a) + ",运行次数：" + t2);
		System.out.println(a + "个月后，兔子总数为：" + fib3(1, 1, a) + ",运行次数：" + t3);
	}

	// 递归实现
	public static int fib1(int n) {
		t1++;
		if (n < 3)
			return 1;
		return fib1(n - 1) + fib1(n - 2);
	}

	// 尾递归实现
	public static int fib2(int fir, int sen, int n) {
		t2++;
		if (n < 3)
			return 1;
		if (n == 3)
			return fir + sen;
		return fib2(sen, fir + sen, n - 1);
	}

	// 迭代实现
	public static int fib3(int fir, int sen, int n) {
		int total = 1;
		if (n < 3)
			return total;
		while (n > 2) {
			t3++;
			total = fir + sen;
			fir = sen;
			sen = total;
			n--;
		}
		return total;
	}
}

四、运行结果

五、分析小结

1、三种算法都得到了一样的结果，但是有一个地方有非常大的区别，那就是代码执行次数上，或者说是空间复杂度。

2、递归算法即第一种方法，代码看着最简洁，但其重复运算次数太多，运算效率低，其时间复杂度为O（2^n），空间复杂度为O（n）;

3、尾递归算法将每一次的计算结果作为参数传入方法，减少不必要的重复运算，运算效率大幅提高，时间复杂度为O（n）;

4、迭代算法即第三种算法，是通过我们常用的循环判断语句实现，由于仅创建了 4个基础变量，通过赋值传递数值，时间复杂度（O（n））和空间复杂度（O（1））均是最低的。