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例题6-19 UVA1572 Self-Assembly（39行AC代码）
题目大意
锻炼思维的好题，注重分析思路，等价条件转换推理哦
给定n种正方形，每种正方形有4条边，每条边有2个字符构成，包含以下两种模式：
- 第一个为
A-Z的大写字母，第二个为+/-，如A+或Z- 00
当两条边的第一个字符相同，而第二个字符相反时，两边可相连，00不可与任何边相连。
现假设每种正方形无限供应，问是否存在无限拼接图像？
思路分析
一拿到题目，毫无头绪，但可以知道它是一个判定性问题，即只需回答是/否。
而细看要求，要求判定是否存在无限延展的图像，若是存在的话，计算机是没法直接构造出无限的图像的，那么它在暗示我们肯定可以找到一个判定无限的等价条件（类似于循环节的寻找，比如循环小数UVA202和死循环判定UVA12108）
按着循环节思路继续分析下去，发现既然是图像，那么能不能用图论方式解决？
- 尝试1：将正方形当成顶点，遍历查找可用正方形判断是否有能够连接的。但存在一个致命问题，可用正方形个数无数，组合方式爆炸，除非我能穷举每种情况，才能证明它不存在无限的情况，又绕回了思路分析的源点
- 尝试2：将每个正方形的边当成顶点，将正方形作为沟通各个点的边（这里需要一点想象力，和直觉违背），若通过以上方式构建的图存在有向环（循环节），说明存在无限的可能。举个构建图的例子：
图一共有A-Z(+/-)52个顶点
输入：K+K-Q+Q-
对于边K+，构造出一点顶点K1，可想而知，只有另一个正方形的边为K-时才能与K+相邻，间接与剩余的3条边相邻，转换为图即是K-这个点能单向到达K-，Q+，Q-这3个点。
> 思考：想想为何不构造K+到K-的边？
同理，对于边K-，构造顶点K+到K+，Q+，Q-单向边
对于边Q+，构造顶点Q-到K+，K-，Q-的单向边
对于边Q-，构造顶点Q+到K+，K-，Q+的单向边
至此，思路基本明了，将复杂问题转换为有向图的有向环判断问题，有两种思路处理有向环，可以说图的算法核心就两种：bfs和dfs。这里也一样
- 拓扑排序（bfs）：拓扑排序过程中计算出队的顶点个数，若不为52，说明存在有向环
- dfs标记法：关键在于访问状态设计，用
0：违访问, -1：当前正在访问, 1：已访问来标记状态，在遍历过程中碰到-1的状态，表示遇到环。以下为二者对求环问题的对比：
| 对比项目\处理方法 | bfs（拓扑排序） | dfs（活用标记) |
|---|---|---|
| 适用性 | 有向图 | 任意图 |
| 打印环 | 否 | 能 |
| 效率 | 高 | 低（递归用栈消耗大，防止爆栈) |
算法设计
为了便于处理A+和A-的转换关系，定义以下转换函数（类似哈希函数），令二者处于相邻位置，到真正访问与1异或即可完成变换，例如ID(A+)=0,ID(A-)=1，那么将ID(A+)^1=1即可得到ID(A-)
int getId(char c1, char c2) { // 获取字符节点的编号
return (c1 - 'A')*2 + ((c2 == '+') ? 0 : 1); // 注意?:优先级很低，要用括号
}
图用邻接表方式存储，若是用dfs方式判环，必须注意去除重复邻边，bfs方式不影响
其余细节参见详细的代码注释，以下给出两种思路的AC代码（二者仅判环过程不同，其余均一致）
AC代码（C++11）
DFS（标记活用）
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
vector<set<int> > adj; // 邻接表，注意用set存储去重
int vis[52]={0}; // 标记访问数组
int getId(char c1, char c2) { // 获取字符节点的编号
return (c1 - 'A')*2 + ((c2 == '+') ? 0 : 1); // 注意?:优先级很低，要用括号
}
void connect(char a1, char a2, char b1, char b2) { // 参数分别表示两点的第一二个字符
if (a1 == '0' || b1 == '0') return; // 任意一点为0均不连接
adj[getId(a1,a2)^1].insert(getId(b1,b2)); // 有向图构建；异或含义-> (B+)^1=B-
}
bool dfs(int u) { // 判断以顶点u开始是否存在有向图
vis[u] = -1; // 当前遍历的标记
for (int v : adj[u]) // 邻边
if (vis[v] == -1 || (vis[v] == 0 && dfs(v))) return true; // 碰见当前已访问节点，表示存在有向环
vis[u] = 1; // 回溯时标记为1，表示已访问过，必须在return false之前
return false; // 到此处表示当前连通块不存在有向环
}
bool find_cycle() { // 检查图是否存在有向环
memset(vis, 0, sizeof(vis)); // 初始化为0，表示未访问
for (int i=0; i < 52; i ++) // 遍历所有连通块
if (vis[i] == 0 && dfs(i)) return true; // 存在一个环
return false;
}
int main() {
int n; string s;
while (cin >>n) {
adj.clear(); adj.resize(52); // 初始化
for (int i=0; i < n; i ++) {
cin >>s;
for (int i=0; i < 4; i ++) { // 考虑旋转翻转
for (int j=0; j < 4; j ++)
if (i != j) connect(s[i*2],s[i*2+1],s[j*2],s[j*2+1]); // 构建有向图
}
}
printf("%s\n", !find_cycle() ? "bounded" : "unbounded");
}
return 0;
}
BFS（拓扑排序）
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
vector<vector<int> > adj; // 邻接表
int getId(char c1, char c2) { // 获取字符节点的编号
return (c1 - 'A')*2 + ((c2 == '+') ? 0 : 1); // 注意?:优先级很低，要用括号
}
void connect(char a1, char a2, char b1, char b2) { // 参数分别表示两点的第一二个字符
if (a1 == '0' || b1 == '0') return; // 任意一点为0均不连接
adj[getId(a1,a2)^1].push_back(getId(b1,b2)); // 有向图构建；异或含义-> (B+)^1=B-
}
bool bfs() { // 拓扑排序检测是否存在有向环
int indegree[52]={0}, num=0; // 访问数组, 入度表,入队计算
for (int i=0; i < 52; i ++)
for (auto v : adj[i]) indegree[v] ++; // 入度计算
queue<int> q;
for (int i=0; i < 52; i ++) if (indegree[i] == 0) q.push(i); // 队列初始化
while (!q.empty()) {
int u=q.front(); q.pop(); num ++; // 统计出队个数
for (int v : adj[u]) {
indegree[v] --; // 更新入度表
if (indegree[v] == 0) q.push(v); // 入度=0则进队
}
}
return num == 52; // 不存在有向环num=52
}
int main() {
int n; string s;
while (cin >>n) {
adj.clear(); adj.resize(52); // 初始化
for (int i=0; i < n; i ++) {
cin >>s;
for (int i=0; i < 4; i ++) { // 考虑旋转翻转
for (int j=0; j < 4; j ++)
if (i != j) connect(s[i*2],s[i*2+1],s[j*2],s[j*2+1]); // 构建有向图
}
}
printf("%s\n", bfs() ? "bounded" : "unbounded");
}
return 0;
}
