12行代码AC——例题6-6 小球下落(Droppint Balls, UVa 679)——解题报告

励志用尽量少的代码做高效的表达。

提交（题目）链接→UVa-679

题目大意：

有一颗满二叉树，每个节点是一个开关，初始全是关闭的，小球从顶点落下，如果开关打开，则落向该节点的右子树，如果开关关闭，则落向该节点的左子树。小球每次经过开关就会把它的状态置反，问第k个球下落到d层时经过的开关编号。

思路分析；

最初的想法是：使用一维数组模拟树的遍历。

因为题目比较简单，就没有估算时间复杂度。写出来后提交，显示TLE。
于是结合紫书自己分析了一下：
因为I的取值可以最大为2^21-1,而最大深度为20，因此一组数据的计算量就高达1000W。而一共可能有10000组数据。因此常规方法一定会超时。
仔细看了解析，敲出了优化方法。

优化的想法是：规律推导+数学公式实现。

因为每一个小球都会落到根节点上，因此前两个小球必然是一个在左子树的最左侧，一个在右子树的最左侧。
因此可得：只需看小球的奇偶性，就能知道他是最终在哪棵子树。
同理：对于那些落入根节点左子树的小球来说，只需知道该小球是第几个落在根的左子树里的，就可以知道下一步是往左还是往右了。
如果使用题目中给出的编号I，则当I是奇数时，它是往左走的第(I+1)/2个小球，当I是偶数时，它是往右走的第I/2个小球。可以直接模拟最后一个小球的路线：
这样程序的运算量就与小球编号无关了，而且节省了一个巨大的数组。
（PS：敲到这里，偶然想起从前做过的一道题：大致是求1-n的连加和。如果直接遍历，值会溢出。最后采用高斯公式：sum = n(n-1)/2解决问题。规律果然都是相通的。）*

下面把两种代码都贴出来，供学习参考。

超时的代码：

#include<stdio.h>
#include<cstring>
const int maxd = 20;
int s[1<<maxd];
int main() {
	int n; scanf("%d", &n); while(n--) {
		int D, I; scanf("%d %d", &D, &I); {
			memset(s, 0, sizeof(s));							//a数组从1开始运算 
			int k, n1 = (1<<D)-1;
			for(int i = 0; i < I; i++) {						//遍历小球 
				k = 1;
				for(;;) {
					s[k] = !s[k];
					k = s[k] ? k*2 : k*2+1;
					if(k > n1) break;
				}
			}
			printf("%d\n", k/2);
		}
	}
	return 0;
}

AC代码：

#include<stdio.h>
int main() {
	int n; scanf("%d", &n); while(n--) {
		int D, I; scanf("%d %d", &D, &I);
		int k = 1;
		for(int i = 0; i < D-1; i++) 
			if(I%2) { k *= 2; I = (I+1)/2; }
			else { k = (k*2+1); I /= 2; }
		printf("%d\n", k);
	} 
	return 0;
}