CTU Open Contest 2019.A——Beer Barrels【组合数 & 乘法逆元】

题目大意

给出四个整数：A，B，K，C，A,B,C 都是大于 0 的个位数，问在所有仅由 A 或 B 组成的 K 位数中(K 位数的每一位都是 A 或 B)，数字 C 的个数有多少

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题解

• 分析样例 1 2 3 2
• 根据题目我们推出样例中所有的 3 位数为：
  $111\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |$ 共 0 个 2
  $211 \ \ 121 \ \ 112\ \ \ |$ 共 3 个 2
  $221 \ \ 212 \ \ 122\ \ \ |$ 共 6 个 2
  $222 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |$ 共 3 个 2
• 所以本题答案为： $0+3+6+3=12$。
• 考虑除 111 的其他数字，第二行的数中每个数都包含一个二，也就是说，第二行的数都是 从 3 位数的其中一位将其设为 2，很明显可以联想到组合数。
• 从三个位置选一个位置为 2 的所有情况，这种数的个数 C(3，1)，然后每个数都有一个 2，所以答案为 C(3，1)*1，所以第 三行为 C(3，2)*2，第三行为 C(3，3)*3。
• 所以可以推出，最终答案为 $ΣC(K，i)*i，i∈[1，K]$。
• 求组合数的公式为：
  $C_{n}^{m}=\frac{P_{n}^{m}}{P_m}=\frac{n!}{m!(n-m)!},C_{n}^{0}=1$
• 但是题目要求对1e9+7取模，每个阶乘都是模过的，需要用快速幂求下逆元就好

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AC-Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define ios ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
const ll mod = 1e9 + 7;

ll q_pow(ll a, ll b, ll mod) { // 快速幂
	ll res = 1LL;
	while (b) {
		if (b & 1)	res = (res * a) % mod;
		a = (a * a) % mod;
		b >>= 1;
	}
	return res % mod;
}

ll f[1007]; // 阶乘表
ll inv(ll x) {
	return q_pow(x, mod - 2, mod);
}
int main() {
	f[0] = f[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= 100; ++i)	f[i] = (f[i - 1] * i) % mod;
	ll a, b, k, c;	while (cin >> a >> b >> k >> c) {
		ll ans = 0;
		if (a == b && a == c) // a=b=c
			ans = k;
		else if (a != b && (a == c || b == c)) {
			for (int i = 1; i <= k; ++i) {
				ll tmp = (f[k] * inv(f[i]) * inv(f[k-i])) % mod; // 除法改为乘法逆元
				ans = (ans + tmp * i) % mod; // 每种情况有i个所求数字
			}
		}
		cout << ans << endl;
	}

	return 0;
}