CTU Open Contest 2019 F题 Beer Marathon（思维题）

题目描述

题目大意

       有n个点排成一排，给出了它们的位置坐标，现在需要将它们按照相同的间隔k重新排列，问所有点需要移动的距离之和的最小值是多少？

分析过程

通过观察，可以发现两个小结论：

结论1   重新调整之后的排列至少存在一个位置与调整之前的相应位置重合。

可以用反证法证明：
       设原序列（升序排列之后的）集合为A，我们假设已经获得了一个满足最优方案的序列集合B，若对于 $\forall x\in A,\forall y\in B$均有 $x\not=y$，此时，有3种情况：若A中的位置点 a_i 大部分位于其对应位置b_i的左侧时，此时我们将B向左移动一个单位必然可以使得结果更优（左边对减少距离的贡献更大）；反之，向右移动更优，以上这两种情况均与假设中的“最优方案”矛盾；若A中的位置点均匀的散布在最优方案点的两侧，那么此时我们必然可以通过移动B而使得A与B之间存在相交点。综上所述，结论1得证。

结论2   由结论1的证明过程可以看出，在原序列中必然存在一个基准位置a_i，当将序列a₁,a₁+k,a₁+2k,…,a₁+(n-1)k 中的对应位置（即 a₁+(i-1)k）和 a_i 对齐时，此时序列A中的点相对于间隔为k的序列的相应位置点来说，左右散布是均匀的，此时我们就得到了最优方案，即题中所求。

       有了以上2个分析得到的结论做支撑之后，我们的问题就转化为了如何在原序列A中寻找基准位置。很显然一个一个枚举的时间复杂度是O(n²)，必然要TLE。通过观察，我们发现，当把原序列A中的第一个位置作为基准位置时（选别的位置也行，但选第一个最方便），我们从左到右遍历一遍，将原序列A与标准序列a₁,a₁+k,a₁+2k,…,a₁+(n-1)k 分别作差。此时，差值处于中间的那个位置便是基准位置。（因为此时该位置能够均匀的将A序列各位置散布在a₁,a₁+k,a₁+2k,…,a₁+(n-1)k 序列位置点的左右两侧）

       综上，我们得到的做法为：先将原序列x进行升序排列，与标准序列a₁,a₁+k,a₁+2k,…,a₁+(n-1)k 分别做差，最后找中间值确定基准位置，最后计算结果。时间复杂度为 $O(n\log n)$

附AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e6 + 1000;
ll x[maxn];
int main(){
	ll n,k,i,ans = 0;
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin>>n>>k;
	for(i=1;i<=n;++i) cin>>x[i];
	sort(x+1,x+n+1);
	//判断在左对齐的情况下，每个点和标准点的相对位置（求差），符号为正说明在标准点右侧，否则在左侧 
	for(i=2;i<=n;++i){ 
		x[i] -= (i - 1) * k;
	}
	sort(x+1,x+n+1);
	ll mid = x[(1+n)/2];
	for(i=1;i<=n;++i) ans += abs(x[i] - mid);
	cout<<ans;
	return 0;
} 

Another Solution

       如上文所述，实际上标准排列a₁,a₁+k,a₁+2k,…,a₁+(n-1)k在原序列A中左右移动时，会使得总距离要么向左边方向增大，要么向右边方向增大，在其中间存在一个点取得最优方案。可以发现，这个总距离随坐标变化的图像是一个单峰曲线。因此，我们也可以使用三分法求解该问题。