1. Introduction

最近学习hector slam (A Flexible and Scalable SLAM System with Full 3D Motion Estimation paper , github page) 的时候注意到里面对插值的使用。

同时，之前的时候也在unity使用shading的时候，研究过各种shading方法的使用。突然发现他们之间其实有很多共通的点，他们都会对一个场分布进行插值，对标量和向量插值（slam中对偏导方向插值，shading中对面的法向插值）。

所以打算自己总结一下，以便自己和后人方便回忆和学习。

2. slam - 拉格朗日插值

Hector SLAM使用的是最普通的拉格朗日插值法。

2.1 一维线性插值

对于函数y=f(x),已知函数对应点{ x_i }的值{ y_i }：

$y_{i} = f(x_{i}), where: i \in N, a < x_{i} < b$

如果存在：

$L_{n}(x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + ... + a_{n}x^{n}$

使得 $y_{i} = f(x_{i})$ 成立，则称Ln(x)为f(x)的插值多项式。

可以证明Ln(x)存在且唯一

2.2 二维简单插值

Hector SLAM使用的就是上面的一维拉格朗日插值在二维的简单拓展。使用了只取最近邻四个点的简单形式。由于拉格朗日插值的存在唯一性，可以证明它使用的插值形式是正确的。
在这里插入图片描述

它的实现代码如下所示：

    // the map coordinate of the current point
    int cell_x, cell_y;
    cell_x = floor((coords(0) - map->origin_x) / map->resolution) + map->size_x / 2;
    cell_y = floor((coords(1) - map->origin_y) / map->resolution) + map->size_y / 2;

    // transform (x, y) to (u, v)
    double u = (coords(0) - map->origin_x) / map->resolution + map->size_x / 2 - (double)cell_x;
    double v = (coords(1) - map->origin_y) / map->resolution + map->size_y / 2 - (double)cell_y;

    // get the neighbour scores
    double z1 = map(map,cell_x,cell_y);
    double z2 = map(map,cell_x+1,cell_y);
    double z3 = map(map,cell_x+1,cell_y+1);
    double z4 = map(map,cell_x,cell_y+1);
    
    // interpolate the score to get the field value
    ans(0) = (1 - u)*(1 - v)*z1 + u*(1 - v)*z2 + u*v*z3 + (1 - u)*v*z4;
    
    // calculate the derivatives
    ans(1) = ( v*(z3 - z4) + (1 - v)*(z2 - z1) ) / map->resolution;
    ans(2) = ( u*(z3 - z2) + (1 - u)*(z4 - z1) ) / map->resolution;

3. Smooth Shading

在这里主要比较两种常用的shading方法。

Phong shading是使用向量进行插值，Gouraud shading使用的是标量进行插值。
Phong shading的计算时间更久。
Phong shading会得到更好的效果。在这个页面 show page 可以清晰地看出两种shading方法的效果比较。

另外可以参考 implentation unity shader 里面有作者进行的unity实现。

3.1 Gouraud shading

Gourand shading的过程和上面介绍的hector slam中的插值过程完全一样。使用的是bilinear interpolation wiki page。
下面是来自百科的公式推导，和上面使用的插值一模一样。在这里就不详细说明了。
在这里插入图片描述

3.2 Phong Shading

3.2.1 color

在phong shading中，对颜色进行了更加完善的处理，将颜色分为ambient color，diffuse color 和 specular color进行处理。如下（opengl实现）所示：

  gl_FragColor = vec4(Ka * ambientColor +
                      Kd * lambertian * diffuseColor +
                      Ks * specular * specularColor, 1.0);