【题解】POJ3041 Asteroids - 图论 - 二分图匹配

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POJ3041 Asteroids

题目描述

假如你现在正处在一个 \(N*N\) 的矩阵中,这个矩阵里面有 \(K\) 个障碍物,你拥有一把武器,一发弹药一次能消灭一行或一列的障碍物,求最小的弹药消灭全部障碍物

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Solution

这是经典的最小点覆盖问题，用到了二分图匹配的思想

我们把一个障碍物 \((x, y)\) 看作一条从 \(x\) 与 \(y\) 之间的边， 选一发炸弹看做选炸弹编号向所连出的任意一条边，那么我们希望边的两个端点至少有一个被选中（即被消灭了）

于是就变成了最大匹配问题

放一段转载的简单证明：

“
\((1)\) \(M\) 个是足够的。只需要让它们覆盖最大匹配的 \(M\) 条边，则其它边一定被覆盖（如果有边 \(e\) 不被覆盖，把 \(e\) 加入后得到一个更大的匹配）

\((2)\) \(M\) 个是必需的，仅考虑形成最大匹配的这 \(M\) 条边，由于它们两两之间没有公共点，因此至少需要 \(M\) 个点才可以把它们覆盖
”

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Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<fstream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define F(i, x, y) for(register int i = x; i <= y; ++ i)
using namespace std;
int read();
const int N = 500 + 5;
int n, k, ans;
int x, y;
int a[N][N], vis[N], twice[N];
bool find(int x)
{
    F(i, 1, n)
        if(a[x][i] && ! vis[i])
        {
            vis[i] = 1;
            if(! twice[i] || find(twice[i]))
            {
                twice[i] = x;
                return true;
            }
        }
    return false;
}
int main()
{
    n = read(), k = read();
    F(i, 1, k) x = read(), y = read(), a[x][y] = 1;
    F(i, 1, n)
    {
        memset(vis, 0, sizeof(vis));
        if(find(i)) ++ ans;
    }
    printf("%d", ans);
    return 0;
}
int read()
{
    int x = 0, f = 1;
    char c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9'){if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9') x = (x << 3) + (x << 1) + c - '0', c = getchar();
    return x * f;
}