2020.02.12日常总结兼状压dp略讲（上）

$\color{green}{\text{状压dp}}$

状压dp是一种很重要的 $\text{dp}$，其基本思路是利用二进制，简化我们状态的定义。

为了更好的理解状压，我们需要先来看看C++中的二进制运算：

• &：二进制按位与运算符，格式为a&b，如果 $a$和 $b$的二进制的同一位置上的数码都是 $1$，那么答案的该位数码也是 $1$，否则就是 $0$。例如， $(3)_{10} \& (6)_{10}=(011)_2 \& (110)_2=(010)_2=(2)_{10}$。
• |：二进制按位或运算符，格式为a|b，如果 $a$和 $b$的二进制的同一位上的数码都是 $0$，那么答案的该位数码也是 $0$，否则就是 $1$。例如： $(6)_{10} | (12)_{10}=(0110)_2 | (1100)_2=(1110)_2=(14)_{10}$。
• <<：这不是输出的符号吗？其实它还有另一个意思：左移运算符。格式：a<<b。就是把一个数的二进制的最高的 $b$位删了，在最低位加上 $b$个 $0$，例如 $(3)_{10}<<1=(011)_2=(110)_2=(6)_{10}$。由此可见，一般而言， $a<<b=a \times 2^b$，只不过运算使得更快。
• >>：它与左移运算符类似，叫右移运算符，操作和左移差不多，只不过是把最低的 $b$位删了，在最高位加上 $b$个 $0$而已，一般而言， $a>>b=\lfloor \dfrac{a}{2^b} \rfloor$。
• ^：二进制按位异或运算符，格式为a^b，如果 $a$和 $b$二进制的同一位不同时为 $1$或 $0$，那么答案的该位就是 $1$，否则为 $0$，例子就不举了，值得一提的是， $a | b-a \& b= a$ ^ $b$。

今天，我们就讲到这里，明天我们再讲。

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$\color{green}{\text{例题——洛谷P2157\ \ \ 学校食堂}}$

$\color{blue}{【题目链接】：}$ 题目链接

$\color{blue}{【思路】：}$ 记 $f(i,j,k)$表示第 $i-1$个人已经打完饭，第 $i$到第 $i+7$个人是否打完饭的状态为 $j$，且上一个打饭的人是 $i+k$的最小花费。转移看代码。

$\color{blue}{【代码】：}$

int f[1010][16][300];
int T[1010],B[1010],n;
int test_number,inf;
inline int cost(int a,int b){
	return (T[a]|T[b])-(T[a]&T[b]);
}
void ckmin(int &a,int b){a=min(a,b);}
int main(){
	freopen("t1.in","r",stdin);
	scanf("%d",&test_number);
	while (test_number--){
		scanf("%d",&n);
		for(int i=1;i<=n;i++)
			scanf("%d%d",&T[i],&B[i]);
		memset(f,127,sizeof(f));
		inf=f[1][1][1];f[1][7][0]=0;
		for(int i=1;i<=n;i++)
			for(int j=0;j<256;j++)
				for(int k=-8;k<=7;k++)
					if (f[i][k+8][j]!=inf){
						if (j&1) ckmin(f[i+1][k+7][j>>1],f[i][k+8][j]);
//						如果第i个人已经打完饭了，直接转移至下一个人
						if ((j&1)==0){//第i个人没吃 
							register int lir=inf;
							for(int h=0;h<=7;h++)
								if (!((j>>h)&1)){
									if (i+h>lir) break;
									ckmin(lir,i+h+B[i+h]);
									ckmin(f[i][h+8][j|(1<<h)],f[i][k+8][j]+(i+k?cost(i+k,i+h):0));
								}
						} 
					}
		register int res=inf;
		for(int k=-8;k<=0;k++)
			res=min(res,f[n+1][k+8][0]);
		printf("%d\n",res);
	}
	return 0;
}