2020.02.13日常总结兼状压dp略讲（下）

$\color{green}{\text{一道状压好题——洛谷P3226}}$

$\color{blue}{【题意】：}$ 《集合论与图论》这门课程有一道作业题，要求同学们求出 $\{ 1, 2, 3, 4, 5 \}$的所有满足以 下条件的子集：若 $x$ 在该子集中，则 $2x$ 和 $3x$ 不能在该子集中。

同学们不喜欢这种具有枚举性质的题目，于是把它变成了以下问题：对于任意一个正整数 $1 \leq n \leq 1\times 10^5$，如何求出 $\{1, 2,..., n\}$ 的满足上述约束条件的子集的个数（只需输出对 $1,000,000,001(1 \times 10^9+1)$ 取模的结果），现在这个问题就 交给你了。

$\color{blue}{【思路】：}$ 一道构造+状压dp的好题目。

我们可以构造这么一个矩阵，第 $1$行第 $1$个数是 $1$，其后，每行的第 $j$个元素是该行第 $j-1$个数的 $3$倍，每列的第 $i$个数是该列的第 $i-1$个数的 $2$倍。比如这样：

1  3  9  27  81...
2  6 18  54 162...
4 12 36 108 324...

然后，问题就变成了在这个矩阵中选数，且相邻的数不能同时选的方案数。

考虑到其行数和列数不是很大，所以我们可以用状压dp轻松解决。

记第 $i$行的数取或不取的状态用 $0,1$表示， $f_{i,j}$表示第 $i$行状态为 $j$时的答案。转移具体看代码。

注意因为从 $1$开始构造矩阵不能把所有的数包含在内，需要把所有可能的矩阵构造出来，然后根据乘法原理，答案相乘即可。

$\color{blue}{【代码】：}$

const ll mod=1000000001;
const int N=100100,M=20;
ll line[M],f[2][1<<18],n;
bool chose[N],g[(1<<18)+5];
int a[M][M],lim[M];ll ans=1ll,t;
inline void initialization(){
	for(int i=0;i<(1<<18);i++)
		if ((i&(i<<1))==0)
			g[i]=true;
		else g[i]=false;
}//预处理g数组(g[i]:i是否为可行集合) 
inline void make_rectangle(int x){
	for(int i=1;i<12;i++){
		if (i==1) a[i][1]=x;
		else a[i][1]=a[i-1][1]*3;
		if (a[i][1]>n) break;
		t=i;chose[a[i][1]]=true;line[i]=1;
		for(int j=2;j<19;j++){
			a[i][j]=a[i][j-1]*2;
			if (a[i][j]>n) break;
			line[i]=j;chose[a[i][j]]=true;
		}
		lim[i]=(1<<line[i])-1;
	}
}//以x为首个数字构造我们需要的矩阵 
inline ll dp(){
	register int i,j,k;
	for(i=0;i<=lim[1];i++)
		f[1][i]=g[i];
	for(i=2;i<=t;i++)
		for(j=0;j<=lim[i];j++)
			if (g[j]){
				f[i&1][j]=0ll;//不能用memset 
				for(k=0;k<=lim[i-1];k++)
					if (g[k]&&((j&k)==0))
						f[i&1][j]=(f[i&1][j]+f[(i&1)^1][k])%mod;
			}
	register ll res=0ll;
	for(i=0;i<=lim[t];i++)
		if (g[i]) res=(res+f[t&1][i])%mod;
	return res;
}//状压dp求解子问题 
int main(){
	scanf("%lld",&n);
	initialization();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if (!chose[i]){
			make_rectangle(i);
			ans=(ans*dp())%mod;
		}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}

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$\color{green}{\text{再谈状压}}$

• 一般在数据范围不大的dp题中，我们会优先地考虑状压dp。
• 如果状态可以转化为一个东西取或不取，放或不放，就可以用二进制表示这个状态，然后把它放入状态的定义中，使用二进制运算符把这个问题变成状压dp求解的题目。
• 二进制运算不是很好理解，在上一篇博客中我们讲了二进制运算符，所以大家可以根据状态的定义和二进制运算符的运算规矩画图理解。