2019.12.21日常总结兼离散化略讲

$离散化$

---

Part one：基本概念

离散化，大家可以简单的理解为把大的内容通过某种方式压缩成小的内容。在OI竞赛中，离散化通常是在主算法已经写好的情况下，作为辅助工具进行的。

离散化有很多种，今天讲最简单的一种：整数离散化（当然，这名字是编者起的，并非专业）。

---

Part two：整数离散化

所谓整数离散化，就是将一组大的数字进行重新编号，使得其范围大大减小。同时，重新编号不能破坏原有数字的大小关系，而且，为了方便处理，我们通常给它们编号为整数。

举个例子：比如原数字为 $[1 \times 10^{10},234234,-45346,234234]$，我们可以把它们重新编号为 $[3,2,1,2]$，在它们的大小关系没有被破坏的前提下，我们将它们的范围大大缩小。

当然，因为我们把原数字修改了，所以离散化之后，有些问题便无法求解（如判断是否有原数字等于给定数字）。

---

Part three：如何整数离散化

我们把原数组排序，然后从小到大一一编号即可，最后按照原顺序重新排回来。

【代码】：

struct node{
	int id,number,num;
}a[N];int n;
inline bool cmp1(node a,node b){
	return a.number<b.number;
}
inline bool cmp2(node a,node b){
	return a.id<b.id;
}
inline void discretization(){
//	离散化原数组
	sort(a+1,a+n+1,cmp1);
	a[0].number=a[1].number-1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if (a[i].number>a[i-1].number)
			a[i].num=a[i-1].num+1;
		else a[i].num=a[i-1].num;
	sort(a+1,a+n+1,cmp2);
}

顺带一提：离散化后，所有数字的范围最最多是 $1-n$（ $n$为数字个数）。

---

Part four：离散化的应用

【收集雪花】：
不同的雪花往往有不同的形状。在北方的同学想将雪花收集起来，作为礼物送给在南方的同学们。一共有 $n$个时刻，给出每个时刻下落雪花的形状，用不同的整数表示不同的形状。在收集的过程中，同学们不希望有重复的雪花。你可以从任意 $a$时刻开始，在 $b$时刻停止。 $a$到 $b$时刻中间的雪花也都将被收集。他们希望收集的雪花最多。
【思路】： 如果 $a,b$范围小，完全可以用尺取法搞定。 $a,b$范围大，但是只有它们的大小关系对于我们是有用的，所以我们可以离散化。
【代码】：

const int N=1e6+100;
struct node{
	int id,number,num;
}a[N];int n,ans;bool b[N];
inline bool cmp1(node a,node b){
	return a.number<b.number;
}
inline bool cmp2(node a,node b){
	return a.id<b.id;
}
inline void discretization(){
//	离散化原数组
	sort(a+1,a+n+1,cmp1);
	a[0].number=a[1].number-1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if (a[i].number>a[i-1].number)
			a[i].num=a[i-1].num+1;
		else a[i].num=a[i-1].num;
	sort(a+1,a+n+1,cmp2);
}
inline void Determining(){
	memset(b,false,sizeof(b));
	for(int l=1,r=1;l<=n;l++){
		b[a[l-1].num]=false;
		while (r<=n&&!b[a[r].num]){
			b[a[r].num]=true;r++;
		}
		ans=max(ans,r-l);
	}
}
#define gc getchar()
#define g(c) isdigit(c)
inline int read(){
	char c=0;int x=0;bool f=0;
	while (!g(c)) f=c=='-',c=gc;
	while (g(c)) x=x*10+c-48,c=gc;
	return f?-x:x;
}
inline int hpwwzyy2012(){
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		a[i].id=i;
		a[i].number=read();
	}
	discretization();
	Determining();
	printf("%d",ans);
	return 0;
}
int main(){
//	freopen("t1.in","r",stdin);
	return hpwwzyy2012();
}