2020.02.222日常总结兼【模板】严格次小生成树略讲

$\color{green}{\text{【模板】严格次小生成树}}$

$\color{blue}{【题目大意】：}$ 小C最近学了很多最小生成树的算法，Prim算法、Kurskal算法、消圈算法等等。正当小C洋洋得意之时，小P又来泼小C冷水了。小P说，让小C求出一个无向图的次小生成树，而且这个次小生成树还得是严格次小的，也就是说：如果最小生成树选择的边集是 $E_M$，严格次小生成树选择的边集是 $E_S$，那么需要满足：（ $value(e)$表示边 $e$的权值）

$\color{blue}{【思路】：}$ 先求出原图的最小生成树，然后我们考虑如何把最小生成树变成严格次小生成树。

我们发现：严格次小生成树与最小生成树只有一条边是不一样的。于是，我们可以枚举那条边是哪条边。

假设我们加入的边是边 $(u,v)$，加入后一定会有环，于是我们把环上除 $(u,v)$外最大的边删除即可。当除 $(u,v)$外最大的边权 $=$ $(u,v)$时，删除严格次大即可。

最大边权和严格次大边权可以用倍增求出。

$\color{blue}{【代码】：}$

typedef long long ll;
const int N=1e5+100;
const int M=3e5+100;
struct edge{
	int next,to;ll len;
}e[N<<1];int h[N],tot;
inline void add(int a,int b,ll w){
	e[++tot]=(edge){h[a],b,w};h[a]=tot;
	e[++tot]=(edge){h[b],a,w};h[b]=tot;
}
struct node{
	int u,v;ll w;bool chose;
	node(int _u=0,int _v=0,ll _w=0,bool _c=false){
		u=_u;v=_v;w=_v;chose=_c;
	}
	bool operator < (node c) const{
		return w<c.w;
	}
}a[M<<1];
struct union_set{
	int f[N],s[N];
	void init(int n){
		for(int i=1;i<=n;i++){
			f[i]=i;s[i]=1;
		}
	}
	int getf(int x){
		if (f[x]==x) return x;
		return f[x]=getf(f[x]);
	}
	void merge(int x,int y){
		int a=getf(x),b=getf(y);
		if (a==b) return;
		if (s[a]<s[b]) swap(a,b);
		f[b]=a;s[a]+=s[b];
	}
	bool query(int x,int y){
		return getf(x)==getf(y);
	}
}F;int n,m;ll cnt;
inline void kruskal(){
	sort(a+1,a+m+1);F.init(n);
	for(int i=1;i<=m;i++)
		if (!F.query(a[i].u,a[i].v)){
			F.merge(a[i].u,a[i].v);
			add(a[i].u,a[i].v,a[i].w);
			cnt+=a[i].w;a[i].chose=true;
		}
}
const ll inf=1ll<<62ll;
ll dep[N],f[N][22],maxn[N][22],minn[N][22];
void dfs_init(int u,int fa){
	dep[u]=dep[fa]+1;
	for(int i=0;i<20;i++){
		f[u][i+1]=f[f[u][i]][i];
		maxn[u][i+1]=max(maxn[u][i],maxn[f[u][i]][i]);
		minn[u][i+1]=max(minn[u][i],minn[f[u][i]][i]);
		if (maxn[u][i]>maxn[f[u][i]][i])
			minn[u][i+1]=max(minn[u][i+1],maxn[f[u][i]][i]);
		else if (maxn[u][i]<maxn[f[u][i]][i])
			minn[u][i+1]=max(minn[u][i+1],maxn[u][i]);
	}
	for(int i=h[u];i;i=e[i].next){
		register int to=e[i].to;
		if (to==fa) continue;
		f[to][0]=u;minn[to][0]=-inf;
		maxn[to][0]=e[i].len;
		dfs_init(to,u);
	}
}
int lca(int u,int v){
	if (dep[u]<dep[v]) swap(u,v);
	for(int i=20;i>=0;i--)
		if (dep[f[u][i]]>=dep[v])
			u=f[u][i];
	if (u==v) return u;
	for(int i=20;i>=0;i--)
		if (f[u][i]!=f[v][i])
			u=f[u][i],v=f[v][i];
	return f[v][0];
}
ll query(int u,int LCA,ll t){
	register ll ans=-inf;
	for(int i=20;i>=0;i--)
		if (dep[f[u][i]]>=dep[LCA]){
			if (t!=maxn[u][i]) ans=max(ans,maxn[u][i]);
			else ans=max(ans,minn[u][i]);
			u=f[u][i];
		}
	return ans;
}
ll ans,res;int ret;
int main(){
	n=read();m=read();ans=inf;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		a[i].u=read();
		a[i].v=read();
		a[i].w=read();
	}
	kruskal();dfs_init(1,0);
	for(int i=1;i<=m;i++)
		if (!a[i].chose){
			ret=lca(a[i].u,a[i].v);
			res=query(a[i].u,ret,a[i].w);
			res=max(res,query(a[i].v,ret,a[i].w));
			ans=min(ans,cnt-res+a[i].w);
		}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}