算法—动态规划（2）0-1背包问题回顾

算法—动态规划（2）0-1背包问题回顾

0-1背包问题应该算是我本人第一个接触的dp问题，不过当时确实是没弄懂。今天重新回顾了一下，不禁又有了新的收获

问题描述

n个物品，重量和价值分别为 $w_i$和 $v_i$，背包总的承重力为W，求能装入的最大价值。

问题分析

相比起一维dp，这里的问题变成了二维的：我要求的是价值，但我又不得不考虑重量的限制。
我们先来考虑一下边界状态：
1） $w_i>W$，那么很明显，直接GG，装不了；
2） $\sum w_i <W$,那么都可以装；
好，这两种边界状态下，那么第一个是0；第二个是求和。
那么正常的转态下呢：
我们设函数 $dp(i,j)$表示：当总重量小于j时（也就是说背包还可以装），从下标为i的商品开始挑选，得到的商品的最大值。
我们都知道，dp问题就是一个在动态中“选or不选”的问题。前面已经提到了，如果单件商品重量大于承重范围，那就直接不选了，跳过下一个；如果符合要求，那就看当前这一物品的选入是否比下一物品的选入更有价值。
即状态转移方程如下：
$dp(i,j)=dp(i+1)(j) j<w[j]$
$dp(i,j)=max[dp(i+1,j),dp(i+1,j-w[j]-v[i])]$
解释一下该方程：
第一行意为：此时重量是符合的，那我就放进去；
第二行：此时重量符合，承重余量面临不足，那么我就考虑了：是放进去还是不放进去，跳过看下一个？
由于j表示放，那么j-w[i]-v[i]就表示不放。
在此我们还有个问题？我们是否需要全部搜索一遍？其实不必，已经搜索过的，就可以跳过。
那么下面来看一下代码：

代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxN=3405;
const int maxW=405;
int dp[maxN][maxW];
int N,W;
int w[maxW],v[maxN];
int rec(int i,int j){    
    if(dp[i][j]>=0) return dp[i][j];//记忆化搜索，搜过的就变成正数了。初始化为-1是防止特殊情况出现
    int ans;
    if(i==N) ans=0;//超重，一个都放不了
    else if(j<w[i]) ans=rec(i+1,j);//能放，一直放
    else ans=max(rec(i+1,j),rec(i+1,j-w[i])+v[i]);//要开始挑了
    return dp[i][j]=ans;
}
int main(){
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    cin>>N>>W;
    for(int i=0;i<N;i++)
    {
        cin>>w[i];
        cin>>v[i];
    }
    int res=rec(0,W);
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}
}

总结

0-1背包问题相比入门级别的dp问题，扩展到了二维，即“目标”是一个维度，而限制条件又是另一个维度的事。因此在考虑问题的同时，要更加注重临界转态。另外，在考虑搜索问题的同时，又要注意减枝问题，可采用对数组统一初始化的思路。