动态规划，作为程序员面试过程中几乎是必考的题目类型，在实际生产应用中也广泛使用。0-1背包问题作为最经典的算法之一，也衍生了很多其他的题目（如找零钱、爬楼梯等leetcode题目）。本人在复习之余，将总结下来的算法常识得以分享：
（一）什么是动态规划
作为运筹学的一个分支，动态规划（DP）最早是用于求解决策过程最优化的问题被提出，利用各阶段dp变量之间的关系，逐个求解，最终求得全局最优解的过程。再设计DP算法时，需确认原问题与子问题的解状态，每个状态下的DP值、边界状态值，以及状态转移方程。
此外，不同于分治策略，DP划分的子问题是有重叠的，解过程中对于重叠的部分只要求解一次，记录下结果，其他子问题直接使用即可，减少了重复计算过程。另外，DP在求解一个问题最优解的时候，不是固定的计算合并某些子问题的解，而是根据各子问题的解的情况选择其中最优的。即第i个状态的DP值dp[i]可能前i-1个状态（dp[1]、dp[2]、······、dp[i-1]）都相关。
因此，动态规划求解具有以下的性质：最优子结构性质和子问题重叠性质
（1）最优子结构性质：最优解包含了其子问题的最优解，不是合并所有子问题的解，而是找最优的一条解线路，选择部分子最优解来达到最终的最优解。
（2）子问题重叠性质：先计算子问题的解，再由子问题的解去构造问题的解（由于子问题存在重叠，把子问题解记录下来为下一步使用）。
（二）0-1背包求解思路
①、将原问题分解为子问题（子问题和原问题形式相同，且子问题解求出就会被保存）；
②、确定状态：0-1背包中一个状态就是N个物体中第i个是否放入体积为V背包中；
③、确定一些初始状态（边界状态）的值；
④、确定状态转移方程，如何从一个或多个已知状态求出另一个未知状态的值。（递推型）
（三）算法设计
（1）确认子问题和状态
01背包问题需要求解的就是，为了体积V的背包中物体总价值最大化，N件物品中第i件应该放入背包中吗？（其中每个物品最多只能放一件）
为此，我们定义一个二维数组，其中每个元素代表一个状态，即前i个物体中若干个放入体积为j的背包中最大价值。即设置dp[i][j]，表示前i件中若干个物品放入体积为j的背包中的最大价值。
（2）初始状态
初始状态为dp[0][0]~dp[0][V]和dp[0][0]~dp[N][0]都为0，前者表示前0个物品（也就是空物品）无论装入多大的包中总价值都为0，后者表示体积为0的背包啥价值的物品都装不进去。
（3）转移函数：当第i个物品能够放进背包时（即背包容量j大于等于物品i的重量weight[i]），比较放入物品i前后，背包总价值，保留最大价值存放于当前状态。否则，直接不放入物品i。
（四）实现代码（Python版）
def knapsack(weights, values, target): if len(weights) != len(values): return -1 # set dp status dp = [] for i in range(0, len(weights)): dp.append([0]*(target+1)) for i in range(0, len(weights)): for j in range(0, target+1): if weights[i] <= j: # 第i个物品能够放进背包时（即背包容量j大于等于物品i的重量weight[i]） # 比较放入物品i前后，背包总价值，保留最大价值存放于当前状态 dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weights[i]]+values[i]) else: dp[i][j] = dp[i-1][j] for k in dp: print(k) return dp[len(weights)-1][target] # 返回二维数组最后一个值 if __name__ == '__main__': r = knapsack(weights=[0, 1, 3, 2, 6, 2], values=[0, 2, 5, 3, 10, 4], target=12) print(r)
运行结果
个人学习记录，由于能力和时间有限，如果有错误望读者纠正，谢谢！