【0-1背包问题描述】
给定n种物品和一个背包。物品i的重量是w[i]，其价值为v[i]，背包容量为c。问应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？在选择装入背包中的物品时，对每种物品i只有两种选择，即装入或者不装入背包。不能将物品i装入背包多次，也不能只装入物品i的部分。因此，该问题被称为0-1背包问题。
【0-1背包动态规划解法思路】
动态规划算法适用于解最优化问题，并且我们在思考问题的时候常常是自顶向下的分析问题，自底向上求解。通常按照以下4步骤设计：
- 找出最优解的性质，并刻画其结构特征
- 递归地定义最优值
- 以自底向上的方式计算出最优值
- 根据计算最优值时得到的信息，构造最优解
对于0-1背包问题来说，我们首先来刻画问题，描述最优值。即设m(n,c)为考虑将1到n个物品装入容量为c的背包中的最大价值。其次我们来自顶向下地分析问题，虑最后一个物品的装载情况：由于0-1背包问题的特性，最后一个物品只有两种装载状态，即要么将物品n装入背包，要么将物品n丢弃，不装入背包。而这两种情况对应的条件分别为：如果第n个物品的重量比现有背包的剩余容量大的话，则物品n无法再装入背包，此时的最大价值m[n][c] = m[n-1][c]。如果第n个物品的重量比现有背包的剩余容量小的话，则物品n可以再装入背包，此时的最大价值取决于第n个物品的价值是否加入后导致总价值减少，即此时的最大价值m[n][c]为m[n-1][c]和m[n-1][c-w[n]]+v[n]这两个值的最大值。
【0-1背包动态规划状态转移方程及初始状态值】
在求解状态转移方程时，将问题一般化处理，即设m[i][j]为考虑将第1个物品到第i个物品的装载状态，将其装入当前容量为j的背包中的最大价值，则状态转移方程如下：
if(w[i] > j)
m[i][j] = m[i-1][j]
if(w[i] <= j)
Max{m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]}其中i的取值范围为1<=i<=n，1<=j<=c。
再考虑0-1背包问题的边界条件，显然当i为0时，代表当前没有物品可以放入背包中，自然m[0][j]的取值为0。当j为0时，代表当前背包的容量为0，显然无论i取何值m[i][0]的值为0。最后考虑当i为1即只有一个物品的时候，则m[1][j]的取值只与该物品的重量和当前背包的容量j有关。当w[1]<=j时，m[1][j]的值为w[1]。当w[1]>j时，m[1][j]的值为0。
【0-1背包动态规划解法的Java代码实现】
public class Test {
/*
* 利用动态规划算法求解0-1背包问题的状态转移方程及初始值如下：
*
* m[0][j] = 0
* m[i][0] = 0
*
* if(w[1] <= j)
* m[1][j] = v[1]
* if(w[1] > j)
* m[1][j] = 0
*
* if(w[i] > j)
* m[i][j] = m[i-1][j]
* if(w[i] <= j)
* Max{m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]}
*/
public void Package(int c, int n, int w[], int v[]) { //c：背包总容量；n：物品总个数；w：各个物品的重量；v：各个物品的价值
int[][] m = new int[n+1][c+1]; //声明背包最大价值数组。m[i][j]代表：考虑将1-i的物品装入当前容量为j的背包中的最大价值
int[] x = new int[n+1]; //声明背包状态状态数组。x[i]=1：第i个物品装入背包；x[i]=0：第i个物品不装入背包
for (int i = 0; i <= n; i++) { //初始化最大价值数组：规定当背包容量为0时，最大价值为0
m[i][0] = 0;
}
for (int i = 0; i <= c; i++) { //初始化最大价值数组：规定当物品数量为0时，最大价值为0
m[0][i] = 0;
}
for (int i = 1; i <= c; i++) { //初始化最大价值数组：规定当只有一个物品时的情况
if (w[1] > i) { //如果只有一个物品，且该物品的重量比背包容量大，则无法放入背包，最大价值为0
m[1][i] = 0;
}else { //如果只有一个物品，且该物品的重量比背包容量小，则可以放入背包，最大价值为该物品的价值
m[1][i] = v[1];
}
}
for (int i = 2; i <= n; i++) { //考虑物品个数从2到n的过程中
for (int j = 1; j <= c; j++) { //考虑背包当前容量为从1到c的过程中
if (w[i] > j) { //考虑从第1个物品到第i个物品的过程中，如果第i个物品的重量比当前背包容量j大，则第i个物品无法装入，最大价值为考虑从第1个物品到第i-1个物品的过程的最大价值
m[i][j] = m[i-1][j];
}else { //考虑从第1个物品到第i个物品的过程中，如果第i个物品的重量比当前背包容量j小，则第i个物品可以装入，最大价值为考虑从第1个物品到第i-1个物品的过程的最大价值与装入第i个物品后的最大价值的最大值
int a = m[i-1][j];
int b = m[i-1][j-w[i]] + v[i];
m[i][j] = a>b?a:b;
}
}
}
int cc = c;
for (int k = 1; k <= n; k++) { //设置最后的背包装载状态数组
if (m[k][cc] == m[k-1][cc]) { //如果从第1个物品到第k个物品装入容量为c的背包的最大价值与从第1个物品到第k-1个物品装入容量为c的背包的最大价值相等，则代表第k个物品无法装入背包
x[k] = 0;
}else { //如果从第1个物品到第k个物品装入容量为c的背包的最大价值与从第1个物品到第k-1个物品装入容量为c的背包的最大价值不相等，则代表第k个物品可以装入背包
x[k] = 1;
cc -= w[k];
}
}
//打印结果信息
System.out.println("背包的最大价值为："+m[n][c]);
System.out.println("最大价值背包的装载方法为：");
for (int i = 1; i <= n; i++) {
System.out.print(x[i]+" ");
}
}
public static void main(String[] args) {
Test9 test9 = new Test9();
int[] w = {0,2,2,6,5,4};
int[] v = {0,6,3,5,4,6};
test9.Package(10, 5, w, v);
}
}
【0-1背包动态规划解法的时间复杂度】
由上面的代码可以看出，算法的时间复杂度为O(nc)。
【YY的0-1背包问题实际场景】
0-1背包问题有没有让你想到吃鸡？除了少数物品可以部分装入你的三级包，那些不能部分装入的物品是不是就是0-1背包？有了0-1背包的算法，大家可以科学吃鸡了。
