线性反馈移位寄存器---习题

输出序列：111-0001-0011-0110？和上诉图片结果不对？

一、线性反馈移位寄存器（LFSR）

线性反馈移位寄存器：是指给定前一状态的输出，将该输出的线性函数再用作输入的移位寄存器。异或运算是最常见的单比特线性函数：对寄存器的某些位进行异或操作后作为输入，再对寄存器中的各比特进行整体移位。

通过对事先选定的种子做运算使得人工生成的伪随机序列的过程，在实际中，随机种子的选择决定了输出的伪随机序列的不同，也就是说随机种子的选择至关重要。

产生伪随机数的方法最常见的是利用一种线性反馈移位寄存器(LFSR),它是由n个D触发器和若干个异或门组成的，如下图：

其中，gn为反馈系数，取值只能为0或1，取为0时表明不存在该反馈之路，取为1时表明存在该反馈之路；这里的反馈系数决定了产生随机数的算法的不同。用反馈函数表示成y=a0x^0+a1x+a2x2…反馈函数为线性的叫线性移位反馈序列，否则叫非线性反馈移位序列。

抽头

图中，抽头序列为[16,14,13,11]
![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/20200126184012341.png
多项式中常数“1”并不代表某一个抽头，它所指的是一个比特位的输入（例如 x0,等效为 1 ）。多项式中的指数代表从左至右的抽头位。第一个和最后一个比特一般相应的是输入和输出位。

当且仅当相应的回授多项式是本原多项式时，LFSR才能达到最大长度。这表示以下条件是必须的：

抽头的数量必须为偶数。
抽头之间不能成对出现，必须是互质的。

应该选取哪些位来进行异或才能保证最长周期为，这是一个很重要的问题。选取的“某些位”构成的序列叫做抽头序列，理论表明，要使LFSR得到最长的周期，这个抽头序列构成的多项式加1必须是一个本原多项式，也就是说这个多项式不可约，比如
**n个D触发器最多可以提供2^n-1个状态(不包括全0的状态)，为了保证这些状态没有重复，gn的选择必须满足一定的条件。**下面以n=3，g0=1，g1=1,g2=1)初始状态是由SEED提供的；
　　2)**当反馈系数不同时，得到的状态转移图也不同；必须保证gn===1,否则哪来的反馈？**这就保证了最大系数必然存在。
　　3)D触发器的个数越多，产生的状态就越多，也就越“随机”；0,g3=1为例，说明LFSR的特性，具有该参数的LFSR结构如下图：

假设在开始时，D2D1D0=111(seed)，那么，当时钟到来时，有：

D2=（D1_OUT=D1）=1；

D1=（D0_OUT=D0）^（D2_OUT=D2）=0；

D0=（D2_OUT=D2）=1；
^（D2_OUT=D2）=0；

即D2D1D0=101；同理，又一个时钟到来时，可得D2D1D0=001. ………………

画出状态转移图如下：

从图可以看出，正好有2^3-1=7个状态，不包括全0；

如果您理解了上图，至少可以得到三条结论：

1)初始状态是由SEED提供的；
　2)当反馈系数不同时，得到的状态转移图也不同；必须保证gn===1,否则哪来的反馈？
　3)D触发器的个数越多，产生的状态就越多，也就越“随机”；*
（4）多项式中的指数代表从左至右的抽头位，第一个和最后一个比特一般相应的是输入和输出位。
（5）初始状态相同，输出序列相同(也就是说初始状态决定输出序列)
（6）输出序列看起来是随机序列，但是达到一定位数后会循环
（7）LFSR可以产生的最长的随机序列是2^-1长度(即m序列)，其中n表示寄存器数目
（8）异或的数学符号为“⊕”其运算法则为：a⊕b = (¬a ∧ b) ∨ (a ∧¬b)，*如果a、b两个值不相同，则异或结果为1。如果a、b两个值相同，异或结果为0。
(9)n个D触发器最多可以提供2^n-1个状态(不包括全0的状态)

参考文献：

【1】https://blog.csdn.net/bleauchat/article/details/91387188