线性移位寄存器(LFSR)

线性移位寄存器(LFSR)

定义

• 一个n级寄存器是一个由n个存储单元b1,b2,……,bn和一个计算单元f(b1,b2,……,bn)构成的装置,
  bn+1=f(b1,b2,……,bn)

若f为线性函数
f(b1,b2,……,bn)=t1b1+t1b2+……+tn*bn
称为线性反馈寄存器，即为LFSR

其中ti=0,1,ti的作用相当于一个开关，用断开和闭合来表示0和1.

例n=3,f(b1,b2,b3)=b1+b3,则输入101,
则输出为：101001110100111010011……
周期T=7=2^3-1

LFSR周期

• 寄存器上始终存储着n个元素，该n个元素称为一个状态，初始时刻的状态为：
• S1=(b1,b2,……,bn)
  第i时刻的状态为:
  Si=(bi,bi+1,……,bi+n-1)
  在n级条件下，最多有2^n个状态，而在线性运算下，全0不会转入其他状态，故LFSR序列的最长周期为:2^n-1

m序列

定义：

• 当n级LFSR序列{bi}的周期T=2^n-1时，称{bi}为n级m序列。
  注：如何选择合适的反馈函数LFSR使得序列周期达到最大（m序列），是研究重点。

m序列的产生

• 特征多项式
  • 若LFSR序列{bi}满足bn+1=t1b1+t2b2+……—+tnbn,令p(x)=1-t1x+t2x^2+……+tnx^n (t0=1)称p(x)为LFSR的特征多项式

Th

• LFSR序列{bi}为n级m序列的充要条件是其特征多项式p(x)是本原多项式。
  注1：本原多项式概念略。
  注2：n次本原多项式的个数：

Matlab中调用本原多项式的命令：

primpoly(n,'all')

常用本原多项式

x^2+x+1
x^3+x+1
x^4+x+1
x^5+x^2+1
x^6+x+1
x^7+x^3+1
x^8+x^4+x^3+x^2+1
x^9+x^4+1
x^10+x^3+1
x^11+x^2+1