GF(2)上任意阶本原多项式的生成—线性反馈移位寄存器

给出论文出处：https://wenku.baidu.com/view/da6d8d85b9d528ea81c77922.html

里面生成GF(2)上任意阶本原多项式的算法花了一天才理解，觉得应该写下来，方便自己，也方便别人！

记n次多项式 $f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}$ ，所谓GF(2)上的多项式，即 $a_{i}\in{0,1},i=0,\cdots,n$ ；

前面都好理解，直接说论文中寻找n阶本原多项式的算法。考虑的是形如 $f(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+1$ 的多项式，论文中假定 $\alpha\in GF(2^{n})$ ，且 $f(\alpha)=0$ ；首先，这里懵逼了好一会，既然之前 $f(0),f(1)$ 均为1，怎么还会有 $\alpha$ 使得 $f(\alpha)=0$ ，后来才明白，当多项式 $f(x)$ 的自变量是 $\alpha$ 时， $f(\alpha)=\alpha^{n}+a_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots+a_{1}\alpha+1$ 的加法与乘法就变成了 $GF(2^{n})$ 上的加法与乘法，不了解 $GF(2^{n})$ 上加法与乘法的参见https://www.cnblogs.com/codingtao/p/5916786.html，讲得还行；概括地说，就是将 $GF(2^{n})$ 中的元素转换为GF(2)上的多项式，那么 $GF(2^{n})$ 上的加法就是两个多项式的对应系数异或，然后再转换为 $GF(2^{n})$ 中的元素；而乘法就是两个多项式相乘，在模一个n次的不可约多项式（这样转换之后的元素仍在 $GF(2^{n})$ 中）。

好了，上面的疑问解决了。可能有人在想 $\alpha$ 是多少，其实 $\alpha$ 是多少并不重要，因为后面的计算并不需要。根据算法，由 $f(\alpha)=0$ 则 $\alpha^{n}+a_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots+a_{1}\alpha+1=0 \\ -\alpha^{n}=a_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots+a_{1}\alpha+1 \\ \alpha^{n}=a_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots+a_{1}\alpha+1$

由于 $GF(2^{n})$ 上的加法所以第二行就是第三行。只要 $\alpha^{n+1},\cdots,\alpha^{2^{n}-2}$ 不等于1，那么 $f(x)$ 即为n次本原多项式。那么 $\alpha^{n+1},\cdots,\alpha^{2^{n}-2}$ 该怎么算呢，利用 $\alpha^{n}=a_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots+a_{1}\alpha+1$

记

$\alpha^{k}=b^{(k)}_{n-1}\alpha^{n-1}+b^{(k)}_{n-2}\alpha^{n-2}+\cdots+b^{(k)}_{0} \\=[b^{(k)}_{n-1},b^{(k)}_{n-2},\cdots,b^{(k)}_{0}]\cdot[\alpha^{n-1},\alpha^{n-2},\cdots,1]^{T} \\=b^{(k)}\cdot[\alpha^{n-1},\alpha^{n-2},\cdots,1]^{T}$

则

$\alpha^{k+1}=\alpha\cdot\alpha^{k} \\=\sum_{i=0}^{n-1}b^{(k)}_{i}\cdot\alpha^{i+1} \\=\sum_{i=1}^{n-1}b^{(k)}_{i-1}\cdot\alpha^{i}+b^{(k)}_{n-1}\cdot\alpha^{n} \\=\sum_{i=1}^{n-1}b^{(k)}_{i-1}\cdot\alpha^{i},b^{(k)}_{n-1}=0 \\=\sum_{i=1}^{n-1}[b^{(k)}_{i-1}+a_{i}]\cdot\alpha^{i}+1,b^{(k)}_{n-1}=1$

从而得到 $b^{(k)}$ 的递推式：

$b^{(k+1)}=b^{(k)}<<1,b^{(k)}_{n-1}=0 \\=(b^{(k)}<<1)+[a_{n-1},\cdots,a_{1},1],b^{(k)}_{n-1}=1$

k从n+1到 $2^{n}-2$ ，若每轮 $b^{(k)}$ 都不等于 $[0,\cdots,0,1]$ ，则 $f(x)$ 为n次本原多项式。

GF(2)上任意阶本原多项式的生成—线性反馈移位寄存器

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