2.运筹学上课复盘 之 单纯性法的原理 + 两阶段法 + 解的类型

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单纯形法的原理：

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简单介绍：
1.初等行变换 = 乘一个矩阵 （B * B^-1 =单位阵）
所以 B^-1【A b】表示经过初等行变换的整个矩阵，且AX = b
同时 B^-1X = B^-1 b
2.Z = C^TX（ C^T为目标函数系数）
3.系数矩阵为 A
4.基变量为X_B，非基变量为X_N

因为非基变量为0，所以得到下面的关系
1.X_B= B^-1b
2.Z = C^TX= C_B^T X_B=C_B^TB^-1b

变换后的目系数矩阵应该是什么样的？

-C^T + C1(B^-1 [A])₁ + C2(B^-1 [A])₂ …
原理是初等行变换，为了消去进基变量的Z行系数，必须减去 C_X*第X行
因为这时候的系数矩阵是单位阵，化简得：

= -C^T+C_B^T B^-1 [A]

列出单纯形表

Z                   -C^T +C~B^TB^-1  A                      C~B^TB^-1  b
XB                     B^-1 A                                  B^-1 b

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两阶段法

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1.第一阶段：和大M法一样处理约束条件，目标函数改为 min Z = R1 + R2

如此解出来如果答案为0，则表示原问题有解，并且得到的基变量值为原问题的一组可行基，再展开第二阶段，如果不为0，说明原问题无可行解

2.第二阶段：通过第一阶段得到的最终单纯形表，去掉添加的R1,R2等值，沿用第一阶段最终表的约束条件，改变目标函数为原问题要求，继续用单纯形表解决问题

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解的类型

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1.退化解：

在图像中的表现就是有超过两条直线交于一点，导致我们在进行单纯形法的进基和出基的时候会发现变换之后，点的坐标未改变，因为虽然是考虑了不同的直线的交点，但交点没有改变

一般出现退化解的时候，在单纯形表内的表现是：有基变量为0

此时我们需要检查自己的约束情况，因为出现退化解很可能导致循环，正常实际情况下不会出现循环

2.无穷多最优解

在图像中的表现情况是：目标函数和某一个约束直线平行，并且目标函数最终和该约束重合，此时导致无穷多最优解，最优值不变

在单纯形表中的表现情况是：非基变量的Z行系数为0.

实际上无穷多最优解是有益的