一个例子搞懂单纯形法大M法和两阶段法

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1. 题目

目标函数：
$$\min z=4x_1+x_2$$

约束条件：
$$\text{s.t.}\{\begin{array}{l}3x_1+x_2=3\\ 4x_1+3x_2\ge 6\\ x_1+2x_2\le 4\\ x_1,x_2\ge 0\end{array}$$

2. 添加松弛变量

$$\min z=4x_1+x_2+0x_3+0x_4$$

$$\text{s.t.}\{\begin{array}{l}3x_1+x_2=3\\ 4x_1+3x_2-x_3=6\\ x_1+2x_2+x_4=4\\ x_i\ge 0,i=1,2,\dots ,4\end{array}$$

3. 大M法

$$\max -z=-4x_1-x_2+0x_3+0x_4-M{x}_5-M{x}_6$$

$$\text{s.t.}\{\begin{array}{l}3x_1+x_2+x_5=3\\ 4x_1+3x_2-x_3+x_6=6\\ x_1+2x_2+x_4=4\\ x_i\ge 0,i=1,2,\dots ,6\end{array}$$

单纯形表

.	$C$	.	-4	-1	0	0	-M	-M
$C_B$	基	$b$	$x_1\downarrow$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$x_6$
-M	$\leftarrow x_5$	3	[3]	1	0	0	1	0
-M	$x_6$	6	4	3	-1	0	0	1
0	$x_4$	4	1	2	0	1	0	0
.	$\sigma$	.	7M-4	4M-1	-M	0	0	0

入基变量 $x_1$，出基变量 $x_5$；

.	$C$	.	-4	-1	0	0	-M	-M
$C_B$	基	$b$	$x_1$	$x_2\downarrow$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$x_6$
-4	$x_1$	1	1	$\frac{1}{3}$	0	0	$\frac{1}{3}$	0
-M	$\leftarrow x_6$	2	0	[$\frac{5}{3}$]	-1	0	-$\frac{4}{3}$	1
0	$x_4$	3	0	$\frac{5}{3}$	0	1	-$\frac{1}{3}$	0
.	$\sigma$	.	0	$\frac{5}{3}$M+$\frac{1}{3}$	-M	0	-$\frac{7}{3}$M+$\frac{4}{3}$	0

入基变量 $x_2$，出基变量 $x_6$；

.	$C$	.	-4	-1	0	0	-M	-M
$C_B$	基	$b$	$x_1$	$x_2$	$x_3\downarrow$	$x_4$	$x_5$	$x_6$
-4	$x_1$	$\frac{3}{5}$	1	0	$\frac{1}{5}$	0	$\frac{1}{15}$	-$\frac{1}{5}$
-1	$x_2$	$\frac{6}{5}$	0	1	$-\frac{3}{5}$	0	$-\frac{4}{5}$	$\frac{3}{5}$
0	$\leftarrow x_4$	1	0	0	[1]	1	1	-1
.	$\sigma$	.	0	0	$\frac{1}{5}$	0	-M-$\frac{8}{15}$	-M-$\frac{1}{5}$

入基变量 $x_3$，出基变量 $x_4$；

.	$C$	.	-4	-1	0	0	-M	-M
$C_B$	基	$b$	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$x_6$
-4	$x_1$	$\frac{2}{5}$	1	0	0	-$\frac{1}{5}$	-$\frac{2}{15}$	0
-1	$x_2$	$\frac{9}{5}$	0	1	0	$\frac{3}{5}$	$-\frac{1}{5}$	0
0	$x_3$	1	0	0	1	1	1	-1
.	$\sigma$	.	0	0	0	$-\frac{1}{5}$	-M-$\frac{11}{15}$	-M

所有的 ${\sigma }_j\le 0$，且所有的人工变量都是非基变量。
得到最优解：
$$x^{\ast }=(\frac{2}{5},\frac{9}{5},1,0{)}^T，$$

$$z\ast =4x_1+x_2=4\ast \frac{2}{5}+\frac{9}{5}=\frac{17}{5}.$$

4. 两阶段法

• 第一阶段：
  $$\min w=0x_1+0x_2+0x_3+0x_4+x_5+x_6$$

$$\iff$$

$$\max -w=0x_1+0x_2+0x_3+0x_4-x_5-x_6$$

$$\text{s.t.}\{\begin{array}{l}3x_1+x_2+x_5=3\\ 4x_1+3x_2-x_3+x_6=6\\ x_1+2x_2+x_4=4\\ x_i\ge 0,i=1,2,\dots ,6\end{array}$$

单纯形表

.	$C$	.	0	0	0	0	-1	-1
$C_B$	基	$b$	$x_1\downarrow$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$x_6$
-1	$\leftarrow x_5$	3	[3]	1	0	0	1	0
-1	$x_6$	6	4	3	-1	0	0	1
0	$x_4$	4	1	2	0	1	0	0
.	$\sigma$	.	7	4	-1	0	0	0

入基变量 $x_1$，出基变量 $x_5$；

.	$C$	.	0	0	0	0	-1	-1
$C_B$	基	$b$	$x_1$	$x_2\downarrow$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$x_6$
0	$x_1$	1	1	$\frac{1}{3}$	0	0	$\frac{1}{3}$	0
-1	$\leftarrow x_6$	2	0	[$\frac{5}{3}$]	-1	0	-$\frac{4}{3}$	1
0	$x_4$	3	0	$\frac{5}{3}$	0	1	-$\frac{1}{3}$	0
.	$\sigma$	.	0	$\frac{5}{3}$	-1	0	-$\frac{7}{3}$	0

入基变量 $x_2$，出基变量 $x_6$；

.	$C$	.	0	0	0	0	-1	-1
$C_B$	基	$b$	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$x_6$
0	$x_1$	$\frac{3}{5}$	1	0	$\frac{1}{5}$	0	$\frac{1}{15}$	-$\frac{1}{5}$
0	$x_2$	$\frac{6}{5}$	0	1	$-\frac{3}{5}$	0	$-\frac{4}{5}$	$\frac{3}{5}$
0	$x_4$	1	0	0	1	1	1	-1
.	$\sigma$	.	0	0	0	0	0	0

第一阶段结束。

• 第二阶段

$$\max -z=-4x_1-x_2+0x_3+0x_4$$

.	$C$	.	-4	-1	0	0
$C_B$	基	$b$	$x_1$	$x_2$	$x_3\downarrow$	$x_4$
-4	$x_1$	$\frac{3}{5}$	1	0	$\frac{1}{5}$	0
-1	$x_2$	$\frac{6}{5}$	0	1	$-\frac{3}{5}$	0
0	$\leftarrow x_4$	1	0	0	[1]	1
.	$\sigma$	.	0	0	$\frac{1}{5}$	0

入基变量 $x_3$，出基变量 $x_4$；

.	$C$	.	-4	-1	0	0
$C_B$	基	$b$	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$
-4	$x_1$	$\frac{2}{5}$	1	0	0	-$\frac{1}{5}$
-1	$x_2$	$\frac{9}{5}$	0	1	0	$\frac{3}{5}$
0	$x_3$	1	0	0	1	1
.	$\sigma$	.	0	0	0	$-\frac{1}{5}$

第二阶段结束。

最优解
$$x^{\ast }=(\frac{2}{5},\frac{9}{5},1,0{)}^T，$$

$$z\ast =4x_1+x_2=4\ast \frac{2}{5}+\frac{9}{5}=\frac{17}{5}.$$