二进制状态压缩 CH0103 最短Hamilton路径 （旅行商问题）

题目大意

给定一张 n 个点的带权无向图，点从 0~n-1 标号，
求起点 0 到终点 n-1 的最短Hamilton路径。 
Hamilton路径的定义是从 0 到 n-1 不重不漏地经过每个点恰好一次。

输入格式
第一行输入整数n。

接下来n行每行n个整数，其中第i行第j个整数表示点i到j的距离（记为a[i,j]）。

对于任意的x,y,z，
数据保证 a[x,x]=0，a[x,y]=a[y,x] 并 a[x,y]+a[y,z]>=a[x,z]。

输出格式
输出一个整数，表示最短Hamilton路径的长度。

样例

输入样例：
5
0 2 4 5 1
2 0 6 5 3
4 6 0 8 3
5 5 8 0 5
1 3 3 5 0
输出样例：
18

数据范围
1≤n≤20
0≤a[i,j]≤107

思路
    这道题明显可以用dfs全排列来求，但是这样时间复杂度是20的阶乘，所以我们考虑用到二进制状态压缩来优化
    我们用f[i,j]来表示， i代表状态，i的二进制第k位为1代表k这个数访问过，反之则没有，j代表当前刚刚走到j这个点。
    当我们遍历到 f [i, j] 这个状态时，我们判断j这个点是不是在i这个状态当中，如果在，就取出去掉j这个点的状态t，然后遍历存在t中的每个点k，用f [ t, k] 来更新 f [i, j]， 更新方程为

f[i][j] = min(f[i][j], f[t][k] + g[k][j]);

最后f[(1<<n)-1， n-1]存的就是最终结果

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>

using namespace std;

const int N = 25, M = 2 << 20;

int f[M][N], g[N][N];
int n;

int main()
{
	cin >> n;

	for (int i = 0; i < n; i++)
		for (int j = 0; j < n; j++)
			cin >> g[i][j];

	memset(f, 0x3f, sizeof f);

	f[1][0] = 0;
	for (int i = 0; i < 1 << n; i++)
		for (int j = 0; j < n; j++)
			if (i >> j & 1)
				for (int k = 0; k < n; k++)
				{
					int t = i - (1 << j);
					if (t >> k & 1)
						f[i][j] = min(f[i][j], f[t][k] + g[k][j]);
				}

	cout << f[(1 << n) - 1][n - 1] << endl;
	return 0;
}