支持向量机（SVM）凸二次规划的求解——序列最小最优化算法（SMO）原理及python实现

原问题：
$\min_\alpha\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N\alpha_i\alpha_jy_iy_jK(x_i,x_j)-\sum_{i=1}^N\alpha_i$
s.t.
$\sum_{i=1}^N\alpha_iy_i=0$
$0\leqslant\alpha_i\leqslant C, i=1,2,\cdots,N$
SMO算法的基本思想是：
如果所有变量的解都满足最优化问题的KKT条件，那么这个最优化问题的解就得到了。否则，选择两个变量，固定其他变量，针对这两个变量构建一个二次规划问题。
这样做的目的是，通过求解两个变量的二次规划问题，能不断靠近原有凸二次规划问题的解，并且计算方法有解析方法。
子问题有两个变量，其中一个为违反KKT条件最严重的那一个，另一个由约束条件自动确定。由与约束条件的存在，子问题实际上只有一个自由变量。
整个SMO算法包含两个部分：求解两个变量二次规划的解析方法和选择变量的启发式算法。

两个变量的二次规划求解方法

假设 $\alpha_1, \alpha_2$为变量，其余的量为固定量
设问题的原始可行解为 $\alpha_1^{old}, \alpha_2^{old}$,最优解为 $\alpha_1^{new},\alpha_2^{new}$，并且在沿着约束方向未经剪辑时 $\alpha_2$的最优解为 $\alpha_2^{new,unc}$
由于约束条件存在，因此 $\alpha_2^{new}$的取值范围为：
$L\leqslant\alpha_2^{new}\leqslant H$
其中 $L$与 $H$是 $\alpha_2^{new}$所在的对角线段端点的界。
如果 $y_1\not=y_2$，则
$L=\max(0,\alpha_2^{old}-\alpha_1^{old}),\,\,\,\,\,H=\min(C,C+\alpha_2^{old}-\alpha_1^{old})$
如果 $y_1=y_2$，则
$L=\max(0,\alpha_2^{old}+\alpha_1^{old}-C),\,\,\,\,\,H=\min(C,\alpha_2^{old}+\alpha_1^{old})$
下面先求未经剪辑的最优解 $\alpha_2^{new,unc}$，记
$g(x)=\sum_{i=1}^N\alpha_iy_iK(x_i,x)+b$
令
$E_i=g(x_i)-y_i=(\sum_{j=1}^N\alpha_jy_jK(x_j,x_i)+b), i=1,2$
$当i=1,2时，E_i为函数g(x)对输入x_i的预测值与真实输出y_i之差。$
定理：
最优化问题沿着约束方向未经剪辑的解时
$\alpha_2^{new,unc}=\alpha_2^{old}+\frac{y_2(E_1-E_2)}{\eta}$
其中，
$\eta=K_{11}+K_{22}-K_{12}=||\phi(x_1)-\phi(x_2)||^2$
其中， $\phi(x)$是输入空间到特征空间的映射
经剪辑后 $\alpha_2$的解， $\alpha_2^{new}=$
$H\,\,\,\,\,\,\,,\alpha_2^{new,unc}>H$
$\alpha_2^{new,unc}\,\,\,\,\,\,\,,L\leqslant\alpha_2^{new,unc}\leqslant H$
$L\,\,\,\,\,\,\,,\alpha_2^{new,unc}<L$
再由 $\alpha_2^{new}$求得 $\alpha_1^{new}$:
$\alpha_1^{new}=\alpha_1^{old}+y_1y_2(\alpha_2^{old}-\alpha_2^{new})$

变量的选择方法

SMO算法在每个子问题中需要选择两个变量进行优化，并且至少一个变量是违反KKT条件的。

第一个变量的选择

外层循环，挑选在训练样本中选取违反KKT条件最严重的样本点，并将其对应的变量作为第一个变量。检验训练样本点 $(x_i,x_j)$是否满足KKT条件，即
$\alpha_i=0\Leftrightarrow y_ig(x_i)\geqslant1$
$0<\alpha_i<C\Leftrightarrow y_ig(x_i)=1$
$\alpha_i=C\Leftrightarrow y_ig(x_i)\leqslant1$
其中， $g(x_i)=\sum_{j=1}^N\alpha_jy_jK(x_i,x_j)+b$
该检验是在 $\epsilon$范围内进行的。在检验过程中，外层循环首先遍历所有满足条件 $0<\alpha_i<C$的样本点，如果都满足，则遍历整个数据集。

第二个变量选择

内层循环，假设已经寻找到了第一个变量 $\alpha_1$，现在需要寻找 $\alpha_2$，选择标准是希望能使 $\alpha_2$有足够大的变化。
思路1：由于 $\alpha_2^{new}$是依赖于 $|E_1-E_2|$的，，我们只需选择 $\alpha_2$，使其对应的 $|E_1-E_2|$最大。由于 $E_1$已经确定，若 $E_1$是正的，就选择最小的 $E_i$作为 $E_2$，如果 $E_1$是负的，就选择最大的 $E_i$作为 $E_2$。
思路2：若思路1所选的 $\alpha_2$不能使目标函数有足够的下降，则遍历所有在间隔边界上的支持向量点，依次作为 $\alpha_2$试用，直到目标函数有足够的下降；若还是找不到，则遍历整个数据集；如何还是找不到，则抛弃 $\alpha_1$，重新寻找新的 $\alpha_1$。

计算阈值 $b$与差值 $E_i$

每次完成两个变量的优化后，都需要重新计算阈值 $b$，当 $0<\alpha_1^{new}<C$时，由KKT条件可知：
$\sum_{i=1}^N\alpha_iy_iK_{i1}+b=y_1$
于是
$b_1^{new}=y_i-\sum_{i=3}^N\alpha_iy_iK_{i1}-\alpha_1^{new}y_1K_{11}-\alpha_2^{new}y_2K_{21}$
用 $E_1,E_2$进行表示，有
$b_1^{new}=-E_1-y_1K_{11}(\alpha_1^{new}-\alpha_1^{old})-y_2K_{21}(\alpha_2^{new}-\alpha_2^{old})+b^{old}$
同理，如果 $0<\alpha_2^{new}<C$，那么
$b_2^{new}=-E_2-y_1K_{12}(\alpha_1^{new}-\alpha_1^{old})-y_2K_{22}(\alpha_2^{new}-\alpha_2^{old})+b^{old}$
如果 $b_1^{new},b_2^{new}$同时满足条件 $0<\alpha_i^{new}<C,i=1,2$，那么 $b_1^{new}=b_2^{new}$；如果 $b_1^{new},b_2^{new}$是0或者C，那么 $b_1^{new},b_2^{new}$以及他们之间的数都是符合KKT条件的阈值，选择他们的中点作为 $b^{new}$。
在每次完成两个变量的优化后，还必须更新对应的 $E_i$值
$E_i^{new}=\sum_Sy_j\alpha_iK(x_i,x_j)+b^{new}-y_i$
其中，S是所有支持向量 $x_j$的集合。

代码如下：

from sklearn import datasets
import matplotlib.pyplot as plt # 画图工具
import numpy as np

X, y = datasets.make_classification(n_samples=100, n_features=2, n_informative=2, n_redundant=0, n_repeated=0, n_classes=2, n_clusters_per_class=1, random_state=2)
for i in range(X.shape[0]):
    if y[i] == 0:
        y[i] = -1
#plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y)
# plt.show()


class SMO:
    def __init__(self, X, y, C, toler, maxIter):  # samples labels constance tolerate maxIteration
        self.X = X
        self.y = y
        self.C = C
        self.toler = toler
        self.maxIter = maxIter
        self.N = self.X.shape[0]
        self.b = 0
        self.a = np.zeros(self.N)
        self.K = np.zeros((self.N, self.N))
        self.o = 0.5
        for i in range(self.N):
            for j in range(self.N):
                t = 0
                for k in range(self.X.shape[1]):
                    t += (self.X[i][k] - self.X[j][k])**2
                self.K[i][j] = np.exp(-t/(2*self.o**2))

    def select_J(self, i):  # random choose j which is not equal to i.
        j = i
        while j == i:
            j = np.random.randint(0, self.N)
        return j

    def fix_alpha(self, a, H, L):
        if a > H:
            a = H
        if a < L:
            a = L
        return a

    def cal_Ei(self, j):
        t = 0
        for i in range(self.N):
            t += self.a[i]*self.y[i]*self.K[i][j]
        return t + self.b - self.y[j]

    def update(self):
        iter = 0
        while iter < self.maxIter:
            alphaPairsChanged = 0
            for i in range(self.N):
                Ei = self.cal_Ei(i)
                if (Ei < -self.toler and self.a[i] < self.C) or (Ei > self.toler and self.a[i] > 0):
                    j = self.select_J(i)  # choose j != i
                    Ej = self.cal_Ei(j)
                    aiold = self.a[i]
                    ajold = self.a[j]
                    if self.y[i] != self.y[j]:
                        L = max(0, self.a[j] - self.a[i])
                        H = min(self.C, self.C + self.a[j] - self.a[i])
                    else:
                        L = max(0, self.a[j] + self.a[i] - self.C)
                        H = min(self.C, self.a[j] + self.a[i])
                    if L == H:
                        print("L==H")
                        continue
                    eta = self.K[i][i] + self.K[j][j] - 2*self.K[i][j]
                    if eta <= 0 :
                        print('eta <= 0')
                        continue
                    ajnew = ajold + self.y[j]*(Ei - Ej)/eta
                    ajnew = self.fix_alpha(ajnew, H, L)
                    if abs(ajnew - ajold) < 0.00001:
                        print("j not moving enough")
                        continue
                    self.a[j] = self.fix_alpha(ajnew, H, L)
                    self.a[i] = aiold + self.y[i]*self.y[j]*(ajold - ajnew)
                    b1 = -Ei - self.y[i]*self.K[i][i]*(self.a[i] - aiold) - self.y[j]*self.K[i][j]*(ajnew - ajold) + self.b
                    b2 = -Ej - self.y[i]*self.K[i][j]*(self.a[i] - aiold) - self.y[j]*self.K[j][j]*(ajnew - ajold) + self.b
                    if 0 < self.a[i] < self.C:
                        self.b = b1
                    elif 0 < self.a[j] < self.C:
                        self.b = b2
                    else:
                        self.b = (b1 + b2)/2
                    alphaPairsChanged += 1
            if alphaPairsChanged == 0:
                iter += 1
            else:
                iter = 0
        return self.b, self.a

    def score(self, X, y):
        K = np.zeros((X.shape[0], self.N))
        for i in range(X.shape[0]):
            for j in range(self.N):
                t = 0
                for k in range(self.X.shape[1]):
                    t += (self.X[i][k] - self.X[j][k]) ** 2
                K[i][j] = np.exp(-t / (2 * self.o ** 2))
        y_pre = []
        for i in range(X.shape[0]):
            t = 0
            for j in range(self.N):
                t += self.a[j]*self.y[j]*K[i][j]
            y_pre.append(t + self.b)
        s = 0
        for i in range(X.shape[0]):
            if y_pre[i] < 0 and y[i] == -1:
                s += 1
            elif y_pre[i] > 0 and y[i] == 1:
                s += 1
        return s/X.shape[0]


L = SMO(X, y, 1, 0.001, 100)
b, a = L.update()
score = L.score(X, y)
print('b = {}'.format(b))
print('a = {}'.format(a))
print('the accuracy of this SVM is {}'.format(score))

运行代码，所得到的结果为：

分别是对偶问题当中的变量 $b,\alpha$
以及最终训练出的SVM模型的精确度为98%