一：SVM算法
（一）见西瓜书及笔记
（二）统计学习方法及笔记
（三）推文https://zhuanlan.zhihu.com/p/34924821
（四）推文
支持向量机原理(一) 线性支持向量机
支持向量机原理(二) 线性支持向量机的软间隔最大化模型
二：SMO算法
（一）见西瓜书及笔记
（二）统计学习方法及笔记
（三）见机器学习实战及笔记
（四）推文
支持向量机原理(四)SMO算法原理
三：代码实现（一）SMO中的辅助函数
（一）加载数据集
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt #一：SMO算法中的辅助函数 #加载数据集 def loadDataSet(filename): dataSet = np.loadtxt(filename) m,n = dataSet.shape data_X = dataSet[:,0:n-1] data_Y = dataSet[:,n-1] return data_X,data_Y
（二）随机选取一个J值，作为α_2的下标索引
#随机选取一个数J，为后面内循环选取α_2做辅助（如果α选取不满足条件，就选择这个方法随机选取） def selectJrand(i,m): #主要就是根据α_1的索引i,从所有数据集索引中随机选取一个作为α_2的索引 j = i while j==i: j = np.int(np.random.uniform(0,m)) #从0~m中随机选取一个数，是进行整数化的 print("random choose index for α_2:%d"%(j)) return j #由于这里返回随机数，所以后面结果 可能导致不同
（三）根据关于α_1与α_2的优化问题对应的约束问题分析，对α进行截取约束
def clipAlpha(aj,H,L): #根据我们的SVM算法中的约束条件的分析，我们对获取的aj,进行了截取操作 if aj > H: aj = H if aj < L: aj = L return aj
四：代码实现（二）SMO中的支持函数
（一）定义一个数据结构，用于保存所有的重要值
#首先我们定义一个数据结构（类），来保存所有的重要值 class optStruct: def __init__(self,data_X,data_Y,C,toler): #输入参数分别是数据集、类别标签、常数C用于软间隔、和容错率toler self.X = data_X self.label = data_Y self.C = C self.toler = toler #就是软间隔中的ε，调节最大间隔大小 self.m = data_X.shape[0] self.alphas = np.zeros(self.m) #存放每个样本点的α值 self.b = 0 #存放阈值 self.eCache = np.zeros((self.m,2)) #用于缓存误差，每个样本点对应一个Ei值，第一列为标识符，标志是否为有效值，第二列存放有效值
（二）计算每个样本点k的Ek值，就是计算误差值=预测值-标签值
#计算每个样本点k的Ek值，就是计算误差值=预测值-标签值 def calcEk(oS,k): # 根据西瓜书6.24，我们可以知道预测值如何使用α值进行求解 fxk = np.multiply(oS.alphas,oS.label).T@([email protected][k,:])+oS.b #np.multiply之后还是(m,1),([email protected][k,:])之后是(m,1),通过转置(1,m)@(m,1)-->实数后+b即可得到预测值fx #获取误差值Ek Ek = fxk - oS.label[k] return Ek
（三）重点：内循环的启发式方法，获取最大差值|Ei-Ej|对应的Ej的索引J
#内循环的启发式方法，获取最大差值|Ei-Ej|对应的Ej的索引J def selectJ(i,oS,Ei): #注意我们要传入第一个α对应的索引i和误差值Ei,后面会用到 maxK = -1 #用于保存临时最大索引 maxDeltaE = 0 #用于保存临时最大差值--->|Ei-Ej| Ej = 0 #保存我们需要的Ej误差值 #重点：这里我们是把SMO最后一步（根据最新阈值b，来更新Ei)提到第一步来进行了，所以这一步是非常重要的 oS.eCache[i] = [1,Ei] #开始获取各个Ek值，比较|Ei-Ej|获取Ej的所有 #获取所有有效的Ek值对应的索引 validECacheList = np.where(oS.eCache[:,0]!=0)[0] #根据误差缓存中第一列非0，获取对应的有效误差值 if len(validECacheList) > 1: #如果有效误差缓存长度大于1(因为包括Ei),则正常进行获取j值，否则使用selectJradn方法选取一个随机J值 for k in validECacheList: if k == i: #相同则不处理 continue #开始计算Ek值，进行对比，获取最大差值 Ek = calcEk(oS,k) deltaE = abs(Ei - Ek) if deltaE > maxDeltaE: #更新Ej及其索引位置 maxK = k maxDeltaE = deltaE Ej = Ek return maxK,Ej #返回我们找到的第二个变量α_2的位置 else: #没有有效误差缓存，则随机选取一个索引，进行返回 j = selectJrand(i,oS.m) Ej = calcEk(oS,j) return j,Ej
（四）实现更新Ek操作
#实现更新Ek操作,因为除了最后我们需要更新Ei之外，我们在内循环中计算α_1与α_2时还是需要用到E1与E2， #因为每次的E1与E2由于上一次循环中更新了α值，所以这一次也是需要更新E1与E2值，所以单独实现一个更新Ek值的方法还是有必要的 def updateEk(oS,k): Ek = calcEk(oS,k) oS.eCache[k] = [1,Ek] #第一列1，表示为有效标识
五：代码实现（三）SMO中的内循环函数
外循环是要找违背KKT条件最严重的样本点(每个样本点对应一个α),这里我们将外循环的该判别条件放入内循环中考虑。
（一）补充违背KKT条件选取
对于SVM中的KKT条件如下：
一般来说，我们首先选择违反0<αi<C⇒yig(xi)=1这个条件的点。
如果这些支持向量都满足KKT条件，再选择违反αi=0⇒yig(xi)≥1和 αi=C⇒yig(xi)≤1的点。
（二）分析0<αi<C⇒yig(xi)=1条件
对于上面违反KKT条件实际应用时的两种情况(或状态)：
1. 0<αi⇒yig(xi)>1违背KKT条件
之所以不考虑α<c的情况，因为当yig(xi)>1时，必然出现α≠c,又因为0<α<c,所以我们只用考虑0<α⇒yig(xi)>1即可。
2. αi <C⇒yig(xi)<1违背KKT条件
之所以不考虑α>0的情况，因为当yig(xi)<1时，必然出现α≠0,又因为0<α<c,所以我们只用考虑α<C⇒yig(xi)<1即可。
（三）软间隔分析（同上）
相比较于硬间隔状态，多了一个松弛变量，所以我们考虑的时候加上该松弛变量即可。
1. 0<αi⇒yig(xi)>1+ξ违背KKT条件
2. αi <C⇒yig(xi)<1-ξ违背KKT条件
（四）代码分析
if ((oS.label[i]*Ei < -oS.toler) and (oS.alphas[i] < oS.C)) or\ ((oS.label[i]*Ei > oS.toler) and (oS.alphas[i] > 0)): #注意：对于硬间隔，我们直接和1对比，对于软间隔，我们要和1 +或- ε对比
这里的代码和我们上面分析的违背KKT条件有所不同，所以下面进行推导：
主要看Ei的公式：Ei=g(xi)-yi
如（二）（三）分析可以知道，我们将进入优化的条件（即违背KKT条件）写成代码中形式：
(yiEi<-toler且α<C)或(yiEi>toler且α>C)
条件中yiEi=yi(g(xi)-yi)=yig(xi)-yi2
由于yi=±1，所以yi2=1
最后，我们就可以将代码中的原条件化简为：
(yig(xi)<1-toler且α<C)或(yig(xi)>1+toler且α>C)
即我们在（三）中的形式
（六）分析内循环中η值的性质
#计算η值=k_11+k_22-2k_12 eta = oS.X[i]@oS.X[i] + oS.X[j]@oS.X[j] - 2.0*oS.X[i]@oS.X[j] #eta性质可以知道是>=0的，所以我们只需要判断是否为0即可 if eta <= 0: print("eta <= 0") return 0
由下述η化简可以知道：
η的取值范围必然是η>=0。
又因为我们在推导SVM算法中知道：
当η=0时，我们要求解的α无法更新，所以，我们只需要η>0即可。
所以，代码中判断η<=0时，不符合条件，退出即可。
（五）代码实现
#三：实现内循环函数，相比于外循环，这里包含了主要的更新操作 def innerL(i,oS): #由外循环提供i值（具体选取要违背kkT<这里实现>,使用交替遍历<外循环中实现>）---提供α_1的索引 Ei = calcEk(oS,i) #计算E1值，主要是为了下面KKT条件需要使用到 #如果下面违背了KKT条件，则正常进行α、Ek、b的更新,重点：后面单独说明下面是否满足违反KKT条件 if ((oS.label[i]*Ei < -oS.toler) and (oS.alphas[i] < oS.C)) or\ ((oS.label[i]*Ei > oS.toler) and (oS.alphas[i] > 0)): #注意：对于硬间隔，我们直接和1对比，对于软间隔，我们要和1 +或- ε对比 #开始在内循环中，选取差值最大的α_2下标索引 j,Ej = selectJ(i,oS,Ei) #因为后面要修改α_1与α_2的值，但是后面修改阈值b的时候需要用到新旧两个值，所以我们需要在更新α值之前进行保存旧值 alphaIold = oS.alphas[i].copy() alphaJold = oS.alphas[j].copy() #分析约束条件（是对所有α都适用），一会对我们新的α_2进行截取纠正，注意：α_1是由α_2推出的，所以不需要进行验证了。 #如果y_1!=y_2异号时： if oS.label[i] != oS.label[j]: L = max(0,alphaJold-alphaIold) H = min(oS.C,oS.C+alphaJold-alphaIold) else: #如果y_1==y_2同号时 L = max(0,alphaJold+alphaIold-oS.C) H = min(oS.C,alphaJold+alphaIold) #上面就是将α_j调整到L,H之间 if L==H: #如果L==H，之间返回0，跳出这次循环，不进行改变(单值选择，没必要） return 0 #计算η值=k_11+k_22-2k_12 eta = oS.X[i]@oS.X[i] + oS.X[j]@oS.X[j] - 2.0*oS.X[i]@oS.X[j] #eta性质可以知道是>=0的，所以我们只需要判断是否为0即可 if eta <= 0: print("eta <= 0") return 0 #当上面所有条件都满足以后，我们开始正式修改α_2值，并更新对应的Ek值 oS.alphas[j] += oS.label[j]*(Ei-Ej)/eta oS.alphas[j] = clipAlpha(oS.alphas[j],H,L) updateEk(oS,j) #查看α_2是否有足够的变化量，如果没有足够变化量，我们直接返回，不进行下面更新α_1,注意：因为α_2变化量较小，所以我们没有必要非得把值变回原来的旧值 if abs(oS.alphas[j] - alphaJold) < 0.00001: print("J not move enough") return 0 #开始更新α_1值,和Ek值 oS.alphas[i] += oS.label[i]*oS.label[j]*(alphaJold-oS.alphas[j]) updateEk(oS,i) #开始更新阈值b,正好使用到了上面更新的Ek值 b1 = oS.b - Ei - oS.label[i] * (oS.alphas[i] - alphaIold) * oS.X[i] @ oS.X[i] - oS.label[j] * ( oS.alphas[j] - alphaJold) * oS.X[i] @ oS.X[j] b2 = oS.b - Ej - oS.label[i] * (oS.alphas[i] - alphaIold) * oS.X[i] @ oS.X[j] - oS.label[j] * ( oS.alphas[j] - alphaJold) * oS.X[j] @ oS.X[j] #根据统计学习方法中阈值b在每一步中都会进行更新， #1.当新值alpha_1不在界上时(0<alpha_1<C)，b_new的计算规则为：b_new=b1 #2.当新值alpha_2不在界上时(0 < alpha_2 < C)，b_new的计算规则为：b_new = b2 #3.否则当alpha_1和alpha_2都不在界上时，b_new = 1/2(b1+b2) if oS.alphas[i] > 0 and oS.alphas[i] < oS.C: oS.b = b1 elif oS.alphas[j] > 0 and oS.alphas[j] < oS.C: oS.b = b2 else: oS.b = 1/2*(b1+b2) #注意：这里我们应该根据b_new更新一次Ei，但是我们这里没有写，因为我们将这一步提前到了最开始，即selectJ中 #以上全部更新完毕，开始返回标识 return 1 return 0 #没有违背KKT条件
六：代码实现（四）SMO中的外循环函数
（一）交替遍历
交替遍历一种方式是在所有的数据集上进行单遍扫描，另一种是在非边界上（不在边界0或C上的值）进行单遍扫描
交替遍历：
交替是通过一个外循环来选择第一个alpha值的，并且其选择过程会在两种方式之间交替：
一种方式是在所有数据集上进行单遍扫描，
另一种方式则是在非边界alpha中实现单遍扫描，所谓非边界alpha指的是那些不等于边界0或C的alpha值。
对整个数据集的扫描相当容易，
而实现非边界alpha值的扫描时，首先需要建立这些alpha值的列表，然后对这个表进行遍历。
同时，该步骤会跳过那些已知不变的alpha值。
（二）代码实现
#四：开始外循环，由于我们在内循环中实现了KKT条件的判断，所以这里我们只需要进行交替遍历即可 #交替遍历一种方式是在所有的数据集上进行单遍扫描，另一种是在非边界上（不在边界0或C上的值）进行单遍扫描 # 交替遍历： # 交替是通过一个外循环来选择第一个alpha值的，并且其选择过程会在两种方式之间交替： # 一种方式是在所有数据集上进行单遍扫描， # 另一种方式则是在非边界alpha中实现单遍扫描，所谓非边界alpha指的是那些不等于边界0或C的alpha值。 # 对整个数据集的扫描相当容易， # 而实现非边界alpha值的扫描时，首先需要建立这些alpha值的列表，然后对这个表进行遍历。 # 同时，该步骤会跳过那些已知不变的alpha值。 def smoP(data_X,data_Y,C,toler,maxIter): oS = optStruct(data_X,data_Y,C,toler) iter = 0 entireSet = True #标志是否应该遍历整个数据集 alphaPairsChanged = 0 #标志一次循环中α更新的次数 #开始进行迭代 #当iter >= maxIter或者((alphaPairsChanged == 0) and not entireSet)退出循环 #前半个判断条件很好理解，后面的判断条件中，表示上一次循环中，是在整个数据集中遍历，并且没有α值更新过，则退出 while iter < maxIter and ((alphaPairsChanged > 0) or entireSet): alphaPairsChanged = 0 if entireSet: #entireSet是true，则在整个数据集上进行遍历 for i in range(oS.m): alphaPairsChanged += innerL(i,oS) #调用内循环 print("full dataset, iter: %d i:%d,pairs changed:%d"%(iter,i,alphaPairsChanged)) iter += 1 #无论是否更新过，我们都计算迭代一次 else: #遍历非边界值 nonBounds = np.where((oS.alphas>0) & (oS.alphas<C))[0] #获取非边界值中的索引 for i in nonBounds: #开始遍历 alphaPairsChanged += innerL(i,oS) print("non bound, iter: %d i:%d,pairs changed:%d"%(iter,i,alphaPairsChanged)) iter += 1 #无论是否更新过，我们都计算迭代一次 #下面实现交替遍历 if entireSet: entireSet = False elif alphaPairsChanged == 0: #如果是在非边界上，并且α更新过。则entireSet还是False,下一次还是在非边界上进行遍历。可以认为这里是倾向于非边界遍历，因为非边界遍历的样本更符合内循环中的违反KKT条件 entireSet = True print("iteration number: %d"%iter) return oS.b,oS.alphas
七：根据α实现求解权重W值
（一）公式
根据西瓜书中6.37：
求解权重向量
（二）代码实现
def calcWs(alphas,data_X,data_Y): #根据西瓜书6.37求W m,n = data_X.shape w = np.zeros(n) for i in range(m): w += alphas[i]*data_Y[i]*data_X[i].T return w
八：测试SMO算法的实现
data_X,data_Y = loadDataSet("testSet.txt") C = 0.6 toler = 0.001 maxIter = 40 b,alphas = smoP(data_X,data_Y,C,toler,maxIter) ws = calcWs(alphas,data_X,data_Y) #含有随机操作，所以有多种可能性结果 print(ws) test = data_X[0]@ws+b print(test) test = data_X[2]@ws+b print(test) test = data_X[1]@ws+b print(test)
九：绘制图像和支持向量
（一）代码实现
#绘制图像 def plotFigure(weights, b,toler,data_X,data_Y): m,n = data_X.shape # 进行数据集分类操作 cls_1x = data_X[np.where(data_Y==1)] cls_1y = data_Y[np.where(data_Y==1)] cls_2x = data_X[np.where(data_Y!=1)] cls_2y = data_Y[np.where(data_Y!=1)] plt.scatter(cls_1x[:,0].flatten(), cls_1x[:,1].flatten(), s=30, c='r', marker='s') plt.scatter(cls_2x[:,0].flatten(), cls_2x[:,1].flatten(), s=30, c='g') # 画出 SVM 分类直线 xx = np.arange(0, 10, 0.1) # 由分类直线 weights[0] * xx + weights[1] * yy1 + b = 0 易得下式 yy1 = (-weights[0] * xx - b) / weights[1] # 由分类直线 weights[0] * xx + weights[1] * yy2 + b + 1 = 0 易得下式 yy2 = (-weights[0] * xx - b - 1 - toler) / weights[1] # 由分类直线 weights[0] * xx + weights[1] * yy3 + b - 1 = 0 易得下式 yy3 = (-weights[0] * xx - b + 1 + toler) / weights[1] plt.plot(xx, yy1.T) plt.plot(xx, yy2.T) plt.plot(xx, yy3.T) # 画出支持向量点 for i in range(m): if alphas[i] > 0.0: plt.scatter(data_X[i, 0], data_X[i, 1], s=150, c='none', alpha=0.7, linewidth=1.5, edgecolor='red') plt.xlim((-2, 12)) plt.ylim((-8, 6)) plt.show() plotFigure(ws,b,toler,data_X,data_Y)
（二）图像显示
