2020牛客寒假算法基础集训营5.F——碎碎念【DP & 前缀和】

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题目描述

在ACM比赛里，除了CE以外都是有效的提交。每一个提交都会有其评测的结果，或是AC，或是RJ（Rejected，包含各种不通过的情况）。往往一个人上去提交的时候，总有一个队友会坐在边上等着结果。那个人，往往都是只读题不写题的云选手~

牛牛战队里也有这样的云选手——牛能。当牛能看到有效提交得到了AC以后，都会大呼一声“你好能啊！”，反之，如果得到了RJ的话，就会化身为喷子，说xx句“你能不能行啊！”。大家比赛的都十分紧张，这样的大声呼喊未免会引起旁边队伍的注意。

当然牛牛战队交题的时候也很小心，一旦这一发出现了RJ，下一发有效提交一定能获得AC。

比赛结束了以后，旁边的一支队伍愤怒的跑过来说：你们比赛的时候吵不吵啊，一直在这大吼，吼了这么多句！

激烈的争吵引起了吃瓜群众的注意，吃瓜群众问道：吼了多少句啊，这么讨厌的吗

“啊……我也记不清了，大概是在 $[L,R]$这个区间吧”

作为吃瓜群众的你，想根据这个信息算出，这个队伍有多少种有效提交结果序列的可能呢？

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输入描述:

输入数据包括单组数据、多组询问。输入第一行包含一个整数 $x(2 \leq x \leq 100\,000)$，表示牛能在RJ状态下会说“你能不能行啊！”的句子数量。

第二行包括一个整数 $Q(1 \leq Q \leq 10^5)$，表示询问数量。

接下来 $Q$行，每行包括两个整数 $L,R(1 \leq L \leq R \leq 100\,000)$，表示每次询问下句子的区间数。

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输出描述:

对于每组数据，在一行内输出一个整数，表示牛牛战队提交结果的可能性。由于结果可能很大，请对 $1\,000\,000\,007$取模。

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输入

3
3
3 3
1 4
1 5

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输出

2
7
11

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说明

第一组询问：可以是三个AC，或者一个RJ。
第二组询问：可以是1~4个AC，一个AC和一个RJ（共2种顺序），或者一个RJ。
第三组询问：可以有1~5个AC，两个AC和一个RJ（共3种顺序），一个AC和一个RJ（共2种顺序），或者一个RJ。

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备注:

AC RJ AC AC 和 AC AC AC RJ 虽然都是3个AC，1个RJ，但是因为提交顺序的不同，视为不同种类。

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题解

• 很明显是动态规划求方案数的问题
• 题意有点绕，其实就是说： $AC$说一句， $RJ$说 $x$句，给你 $x$后，询问说的话数在 $[l,r]$区间内的说话方案数
• 首先 $[1,x-1]$ 都只有一种方式：全都 $AC$
• 对于 $i\in[x,maxn]$ ，有两种方式
  1. 从 $i-1$ 句话 + $AC$ 得到
  2. 从 $i-x-1$ 句话 + $RJ$ 得到
• 由于查询范围较大，可以线性复杂度处理答案的前缀和，然后输出 $dp[r] - dp[l-1]$ 即可

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AC-Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 1e5;
const int mod = 1e9 + 7;

int dp[maxn + 7];
int main() {
	int k, q;	while (cin >> k >> q) {
		dp[0] = 1, dp[k] = 2;
		for (int i = 1; i < k; ++i)	dp[i] = 1;
		for (int i = k + 1; i <= maxn; ++i)	dp[i] = (dp[i - 1] + dp[i - k - 1]) % mod;
		for (int i = 1; i <= maxn; ++i)	dp[i] = (dp[i] + dp[i - 1]) % mod;
		while (q--) {
			int l, r;	cin >> l >> r;
			cout << (dp[r] - dp[l - 1] + mod)%mod << endl;
		}
	}
}