两个序列的中位数问题

题目

一个长度为 $L(L\ge1)$的升序序列S，处在第[L/2]个位置的数称为S的中位数。例如，若序列 $S_1=(11,13,15,17,19)$，则S_1的中位数是15，两个序列的中位数是含他们所有元素的升序序列的中位数，例如，若 $S_2=(2,4,6,8,20)$，则 $S_1$和 $S_2$的中位数是11，现在需要找出序列 $A$和 $B$的中位数。

思路：

分别求两个升序序列 $A、B$的中位数，设为 $a$和 $b$，求序列 $A、B$的中位数过程如下：

1. 若 $a=b$，则 $a$或 $b$即为所求中位数，算法结束，
2. 若 $a<b$，则舍弃序列 $A$中较小的一半，同时舍弃序列 $B$中较大的一半，要求两次舍弃的长度相等，
3. 若 $a>b$，则舍弃序列 $A$中较大的一半，同时舍弃序列 $B$中较小的一半，要求两次舍弃的长度相等，
   在保留的两个升序序列中，重复过程 $1、2、3$，直到两个序列中均只含一个元素为止，较小者即为所求的中位数。

思路依据：

1. $a+b$的情形，若将 $B$合并到 $A$中，则 $b$的前半部分放到 $A$的前半部分， $b$的后半部分放到 $A$的后半部分，所以中位数不改变，
2. $a<b$的情形，若将 $B$合并到 $A$中，则至少 $b$及前半部分放到 $A$的前半部分，此时最好的情况 $b$就是中位数，那么 $b$的前半部分就不可能包含中位数，显然 $a$的后半部分也不可能包含中位数，所以在两边同时删去一半，对最终结果没有影响。
3. $a>b$的情形同 $2$一样。

代码实现：

#include<iostream>
#include<stdio.h>
using namespace std;

int M_search(int A[], int B[], int n){
    int s1=0, d1=n-1, m1;
    int s2=0, d2=n-1, m2;
    while(s1 != d1 || s2 != d2){
        m1 = (s1+d1)/2;
        m2 = (s2+d2)/2;
        if(A[m1] == B[m2])
            return A[m1];
        if(A[m1] < B[m2]){
            if((s1+d1)%2 == 0){ //元素个数为奇数
                s1 = m1;        //舍弃A中间点以前的部分且保留中间点
                d2 = m2;        //舍弃B中间点以后的部分且保留中间点
            }
            else{               //元素个数为偶数
                s1 = m1+1;      //舍弃A中间点以及中间点以前的部分
                d2 = m2;        //舍弃B中间点以后的部分且保留中间点
            }
        }
        else{
            if((s2+d2)%2 == 0){
                s2=m2;
                d1=m1;
            }
            else{
                s2=m2+1;
                d1=m1;
            }
        }
    }
    return A[s1] < B[s2] ? A[s1]:B[s2];
}

int main(){
   int A[5] = {11, 13, 15, 17, 19};
   int B[5] = {2, 4, 6, 8, 20};
   printf("%d\n", M_search(A, B, 5));
}

分析：

1. 时间复杂度为 $O(\log_2n)$，空间复杂度为 $O(1)$。
2. 当然本题可以采用先合并 $A$、 $B$，在求中位数的办法，但是复杂度为 $O(n)$，不是最优算法。