(泰勒展开式/欧拉公式)证明：e^x推导及e^(iπ) = -1展开过程

1.将指数函数ex展开成幂级数形式。
首先，假设有恒等式：
e^x= a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + a4x^4 + …+ anx^n（n趋向无穷大）

两侧取导数：
e^x = 0 + a1 + 2a2x + 3a3x^2 + 4a4x^3 + …+ nanx^(n-1)

因而有恒等式
a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + a4x^4 + …+ anx^n = a1 + 2a2x + 3a3x^2 + 4a4x^3 + …+ nanx^(n-1)

两一元多项式恒等，次数相同的项，系数应相同，则有

a0 = a1
a1 = 2a2
a2 = 3a3
a3 = 4a4
……

an-1 = nan

由此得
a1 = a0
a2= a1/2 = a0/2! //2! = 2 * 1
a3= a2/3 = a1/(2*3) = a0/3! //3! = 3 * 2 * 1
a4= a3/4 = a2/(3*4) = a1/(2*3*4) = a0/4! //4! = 4 * 3 * 2 * 1
……

an = a0/n!

代回最初的假设式ex = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + a4x^4 + …+ anx^n，有

e^x = 1*a0 + a0x/1! + a0x^2/2! + a0x^3/3! + a0x^4/4! + …+ a0x^n/n!
e^x = a0( 1+x/1! + x^2/2! + x^3/3! +x^4/4! + …+ x^n/n!)

此是恒等式。因当x=0时，式子也成立。将x=0代入，有

e0 = a0*(1 + 0/1! +0^2/2! + 0^3/3! +0^4/4! + …+ 0^n/n!)
1 = a0*(1 + 0)
a0 = 1（恒成立）

将a0 = 1代入 ex =a0*(1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + …+ x^n/n!)，得到

e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + …+ x^n/n!（n趋向无穷大）

由此推导e^(ix) = cos(x) + i* sin(x)过程
<1>.欧拉公式里其他两个函数的泰勒级数为：
cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! +...
sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! +...

<2>.现在，让我们将泰勒级数中的变量x换成ix,得到
e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + …+ x^n/n!（n趋向无穷大）
e^(ix) = 1 + ix + (ix)^2/2! + (ix)^3/3! + ...+ (ix)^n/n!

<3>.其中某些i的次方可以简化，例如，由定义i^2=−1，所以i^3=-i及i^4=1，等等。因此，上式可简化为
e^(ix) = 1 + ix -x^2/2! - i*x^3/3! + x^4/4! + i*x^5/5! - x^6/6! - i*x^7/7! + x^8/8! + ...

<4>.我们可以将涉及i的项合并在一起，给出
e^(ix) = (1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + x^8/8! +...) + i*(x - x^3/3! + x^5/5! -  x^7/7! + ...)

<5>.注意到这两个级数与上面的sin(x)和cos(x)的对应级数一样，所以我们将它们代入而得到

e^(ix) = cos(x) + i*sin(x) //这就是欧拉公式

<6>.我们现在要做的是让x = π。由于sin(π) = 0及cos(π) = −1，我们得到
e^(iπ) = cos(π) + i*sin(π)
       = cos(180) + i*sin(180)
       = -1 + i*0
       = -1

将各项写成统一形式：
ex= x^0/0! + x^1/1! +x^2/2! + x^3/3! + …+ x^n/n!（n趋向无穷大）

所以
e^x = ∑n=0∞ xn/n!（即 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! +…）

特别地，当x=1时，有
e=∑n=0∞ 1/n!（即 2 + 1/2! + 1/3! + 1/4! +…）