算法分析之【时间复杂度】

时间复杂度

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当电脑运行下面这段代码的时候，执行任何一条语句都需要花费时间（为了方便讨论，这里我们把每一条语句的执行时间都看做是一样的，记为一个时间单元）

这个程序有这么几个地方消耗了时间：

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① 蓝色框的两条语句，花费2个时间单元

② 黑色框的一条语句，花费n+1个时间单元

③ 红色框的两条语句，花费2*n个时间单元

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那么一共花费了3n+3个时间单元，可以看出，程序消耗的时间和n成线性关系

• 用T(n)表示这个程序运行了多长时间，那么这个程序运行的时间就可以写成T(n)=3n+3。其中的n被我们称为问题的规模，其实就是处理的问题的大小

我们常常会对这个函数进行简化，使得它既简单又不失函数的主要特性
所以一般只关心随着问题规模n趋于无穷时函数中对函数结果影响最大的项，也就是最高次项

举个栗子：

• T(n)=n+1 忽略常数项 ：T(n)~n
• T(n)=n+n² 忽略低阶项： T(n)~n²
• T(n)=3n 忽略最高阶的系数： T(n)~n

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至于判断哪个是高阶项，哪个是低阶项，只需记住下面的大小关系就行了，到时按照这个进行忽略（忽略相对较小的）

简化后的式子被称为这个程序算法的时间复杂度，记做O(f(n))，f(n)就是简化后的式子，比如说刚开始讨论的T(n)=3n+3，简化后T(n)~f(n)=n，那我们记为O(n)

时间复杂度可以表示某个算法的运行时间的趋势，大致地度量算法效率的好坏

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时间复杂度的计算

计算时间复杂度大O的方法

一、得出运行时间的函数
二、对函数进行简化

1. 用常数1来取代运行时间中所有加法常数
2. 修改后的函数中，只保留最高阶项
3. 如果最高阶项存在 且系数不为1，则忽略这个项的系数（即令其系数为1）

举个栗子：

int n = 0;
n = n + 6;
printf(n);

T(n)=3（三条语句1+1+1）,对这个函数进行简化，用常数1取代常数3，然后取代后的函数没有最高阶项，那么这个算法的时间复杂度就是O(1).
O(1)也被称为常数阶
如果每次都要把时间函数算出来，挺麻烦的，可以耍耍小聪明，一般来说，最内层执行次数最多的语句就决定了整个算法的趋势

for(int i = 0; i < n; i++)
	printf("哈");

这个内层打印语句需要循环n次，随着问题规模n的增加会呈线性增加，可以判定其时间复杂度为O(n)

按照这个方法就很容易得出下面这个嵌套的两层for循环的时间复杂度为O(n²)

for(int i = 0; i < n; i++) {
	for(int j = 0; j < n; j++) {
		cout << "平方阶" << endl;
	}
}

有一个很神奇的函数——对数函数，它随着自变量的增大，因变量增长的很慢

下面这段代码的复杂度就为对数级别O(logⁿ)

int sum = 1;
while(sum < n) {
	sum = sum * 2;
}

和之前的分析方法一样，我们着重看执行次数最多的内层代码语句

sum = sum * 2;

每循环一次，sum就给自身乘以2，乘了多少次就跳出循环了呢(大于等于n)？不知道，就设为x吧，那么 2^x=n，解出 x=log₂ⁿ，这说明随着n的增大，最消耗时间的内层语句是呈对数变化的。

感谢阅读~

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• 本文参考于：算法分析神器—时间复杂度