浅析字典树
字典树是一种比较特殊的树，边上有边权（至少我是怎么理解的）。又名“Trie”树。
大概长这样：
（插入了cap,cat,csp,co,code）
边上是字符集，点上是点的编号，涂成蓝色的代表是单词的结尾。
字符集可以是a-z，0-9，true和false等等。
字典树有效的组织了单词的关系，节省了时间和空间。
插入单词
void insert(char *s) {
int p = 1, len = strlen(s);
for (int i = 0; i < len; ++i) {
bool now = s[i] - 'a';
if (trie[p][now] == 0) trie[p][now] = ++m;
p = trie[p][now];
}
isend[p] = true;
}这里trie[x][c]表示从节点x由c这条边能达到节点trie[x][c]。
其中，m为节点总数计数，要在插入前赋初始值为 \(1\) 。
这里isend用于标记是否是结尾，有时还需要记录次数。
查询
每道题都有他查询的内容，需要因地制宜的写查询函数。
查询前缀是否出现：
bool query(char *s) { // 此代码没有编译运行测试过，仅供思路参考，不建议直接复制。
int p = 1, len = strlen(s);
for (int i = 0; i < len; ++i) {
bool now = s[i] - 'a';
if (trie[p][now] == 0) return false;
p = trie[p][now];
}
return true;
}查询出现次数（注意配套修改insert函数）：
int query(char *s) { // 此代码没有编译运行测试过，仅供思路参考，不建议直接复制。
int p = 1, len = strlen(s);
for (int i = 0; i < len; ++i) {
bool now = s[i] - 'a';
if (trie[p][now] == 0) return 0;
p = trie[p][now];
}
return isend[p];
}应用
本文主要谈应用字典树解题，如果上面的讲解不明白，可以自行Baidu一下qwq。
例题一 于是他错误的点名开始了
这题是字典树最基本的运用，查询存在性和重复性。
把所有化学生的姓名插入字典树，再在每次教练点名时，查询。
例题二 The XOR Largest Pair
这题看似和字典树没啥关系，也找不到可以插入的字符串。
最容易想到的做法就是暴力，两两枚举xor，时间复杂度 \(O(n^2)\) 。
其实这里可以把每个数的二进制值插入字典树中，
枚举每个数，在字典树中查询与它尽量二进制按位尽量相反的树。
code：
void insert(int x) {
int p = 1;
for (int i = 30; i >= 0; --i) {
bool now = (x & (1 << i));
if (trie[p][now] == 0) trie[p][now] = ++m;
p = trie[p][now];
}
isend[p] = true;
}
int lookup(int x) {
int res = 0;
int p = 1;
for (int i = 30; i >= 0; --i) {
bool now = (x & (1 << i));
now = !now;
if (trie[p][now]) { // 成功匹配，此位相反
res |= (1 << i);
p = trie[p][now];
} else { // 匹配失败，这一位只能相等
p = trie[p][!now];
}
}
return res;
}例题三 最长XOR序列
描述：还是给你一个序列，要求这个序列的某个子序列的异或和最大，求这个最大值。
（注：子序列是连续的，子串才是不连续的。
异或和是指连续异或的值，如4,7,10的异或和是4 xor 7 xor 10）
这里要用到异或的几个性质：
\(a \operatorname{xor} b \operatorname{xor} c=(a \operatorname{xor} b)\operatorname{xor} c=a\operatorname{xor}(b\operatorname{xor}c)\)
- \(a \operatorname{xor} a=0\)
\(a\operatorname{xor}0=a\)