树的概念

在计算机科学中，树是用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由n（n>=0）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。(n = 0 时称为空树)

树的结构特点

树的结构图:

树的结构图

特点有:

每个节点有零个或多个子节点；
没有父节点的节点称为根节点；
每一个非根节点有且只有一个父节点；
除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树；

树的分类

二叉树：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树；
完全二叉树：对于一颗二叉树，假设其深度为d（d>1）。除了第d层外，其它各层的节点数目均已达最大值，且第d层所有节点从左向右连续地紧密排列，这样的二叉树被称为完全二叉树；
满二叉树：所有叶节点都在最底层的完全二叉树；
平衡二叉树（AVL树）：当且仅当任何节点的两棵子树的高度差不大于1的二叉树；
红黑树: 是一种自平衡二叉查找树，它是在1972年由鲁道夫·贝尔发明的，他称之为”对称二叉B树”
排序二叉树(二叉查找树)：也称二叉搜索树、有序二叉树；
霍夫曼树：带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树；
B树：一种对读写操作进行优化的自平衡的二叉查找树，能够保持数据有序，拥有多于两个子树。

具体树的详解

一. 二叉树

1.1 二叉树的储存

假设为链式储存, 结点类声明为:

public class TreeNode {
    public int val;
    public TreeNode left;
    public TreeNode right;
    public TreeNode(int x) { val = x; }
}

1.2 二叉树的遍历

遍历方式分为

递归遍历
非递归遍历

遍历顺序分为:

1.3 二叉树的性质

二叉树的第 $i$ 层至多拥有 $2^{i-1}$ 个节点数, $i$ >=1)
深度为 $k$ 的二叉树至多总共有 $2^{k}-1$ 个节点数,( $k$ >=1)
对任何一棵非空的二叉树 $T$ ，如果其叶片(终端节点)数为 $n_0$ ，分支度为 $2$ 的节点数为 $n_{2}$ ，则 $n_0 = n_{2}+1$

第三点推导过程:

$k$ : 总度数
$k+1$ : 总结点数
$n_0$ : 度为0的结点
$n_1$ : 度为1的结点(只有一个孩子的结点)
$n_2$ : 度为2的结点(有左右两个孩子)
$k = 2n_2 + n_1$
$k + 1 = n_0 + n_1 + n_2$
推出 $n_0 = n_2 + 1$

1.4 二叉树其他考点

推导遍历结果

已知前序中序遍历结果, 求后序遍历结果
已知后序中序遍历结果, 求前序遍历结果

步骤:

得到每棵子树的根节点(前序: 第一个数; 后序: 最后一个数)
根据该根节点在中序遍历中的位置, 划分根节点的左右子树
重复步骤1, 直到全部划分完毕

注意:

前序或后序遍历结果决定每一棵子树根节点
中序遍历结果决定子节点是属于左子树还是右子树

二. 完全二叉树

2.1 结构及特点

结构图

这里写图片描述

特点

而在一棵二叉树中，除最后一层外，若其余层都是满的，并且最后一层或者是满的，或者是在右边缺少连续若干节点，则此二叉树为完全二叉树（Complete Binary Tree）。具有 $n$ 个节点的完全二叉树的深度为 $log_2n+1$ 。深度为 $k$ 的完全二叉树，至少有 $2^k$ 个节点，至多有 $2^{k+1}-1$ 个节点。

2.2 完全二叉树应用

2.3 堆的应用

如何基于最大堆实现最大优先队列

数据结构 - 树的种类及其应用