PAT乙级练习题_1007“素数对猜想”_python解题

原题

让我们定义 $d_n$​为： $d_n=p_{n+1}​​−p_n$，其中 $p​_i$是第 $i$ 个素数。显然有 $d_1=1$，且对于 $n>1$ 有 $d_n$​​ 是偶数。“素数对猜想”认为“存在无穷多对相邻且差为2的素数”。
现给定任意正整数 N(< $10^5$)，请计算不超过 N 的满足猜想的素数对的个数。

输入格式

输入在一行给出正整数N。

输出格式

在一行中输出不超过N的满足猜想的素数对的个数。

样例输入

20

样例输出

4

my answer

优化方案：

1. 从3开始，所有的被判断的数每循环一次+2（步长为2），这样就将所有的偶数排除在外
2. 利用大于3的素数都满足3n+1或者3n-1（n为正整数），将所有不满足该条件的数筛选掉
3. 所有的非素数（合数）都可以用几个素数的乘积来表示，故只需用素数作为判断素数时的被除数。所以用一个列表存储“已经被判断为素数的”素数，每一次循环都只从列表中选择小于等于“被判断数开方”的素数。如果在一次循环中，被判断数是素数，就将该数加入到“已经被判断为素数”的素数列表中。

import math
# 判断是否是素数，是素数就返回True，否则返回False
def is_prime(n, prime_list):
    if n < 3:
        return n > 1
    if n == 3:
        prime_list.append(n)
        return True
    # （优化二）大于3的素数都满足 6n+1 或者 6n-1，所以不满足该条件的一定不是素数
    if n % 6 != 1 and n % 6 != 5:
        return False
    # 素数的因子，只有1和其本身；合数总可以表示成几个质数相乘的形式，即存在小于该合数的素数因子。
    # （优化三）所以，在判断是否是素数的时候，被除数只需要从“当前已经被判断为质数”的列表中“小于等于该数的开方”的素数中选择
    up_limit = int(math.sqrt(n)) + 1
    for i in prime_list:
        if i > up_limit:
            break
        if n % i == 0:
            return False
    prime_list.append(n)
    return True
    
times = eval(input())
if times == 1 or times == 2:
    print(0)
else:
    #  当输入的正整数大于2时，定义一个变量用来记录有多少个素数对（初始值为0）
    N = 0
    # 定义一个变量pre_prime用来存储“当前”最大的素数A，
    # 如果发现一个素数B，就与“当前”最大的素数做差（B-A）
    # 结果为2，N就加一，“当前”最大素数更新为新的素数的值（A = B）
    pre_prime = 2
    # 定义一个列表，用来存放已经被判断为素数的数
    prime_list = [2]
    # （优化一）从3开始，步长为2，这样就将所有的大于3的偶数(一定不是素数)筛选出去了
    for i in range(3, times+1, 2):
        if is_prime(i, prime_list):
            if (i - pre_prime) == 2:
                N += 1
            pre_prime = i

    print(N)