洛谷 P1999 高维正方体

首先这是个玄学的题目，很多人想到了杨辉三角，但是我太菜了于是没有想到，用了另一种方法得出了正确的式子，先写下式子好了。

求n维下m维的数量：

$ans=C_n^m\times 2^{n-m}$

推理过程

我这个蒟蒻推了一节数学课才推出的结论

先来点简单的

我们生活在3维世界，很难想象出4维或4维以上世界是什么样的，但我们知道，2维可以用xy坐标表示，3维可以用xyz坐标表示，那n维就可以用n个数表示坐标，n维体就是由一些坐标构成的图形，那么坐标的数量就是0维的数量。

举个例子，二维可以表示4个坐标，分别是 $(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)$，三维就是 $(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),……,(1,1,0),(1,1,1)$,四维就是 $(0,0,0,0)$等编者好懒，不难发现，每个坐标只有 $0,1$两种，很容易想出 $n$维里 $0$维的个数，就是 $2^n$

当然如果a>=b就需要特判了啊

开始正文

观察坐标，以 $3$维为例，他的 $1$维怎么表示呢？很容易想到，如果两个点的坐标中只有一个不相同的数，那么这两个坐标间可以连一条 $1$维的线。

二维呢？还是考虑连线，所以想表示一个 $2$维怎么做？那就是连接对角线！

一个对角线一定能对应一个且仅一个 $2$维图形。对角线两个端点的坐标的性质，是有两个数不同：原因很简单，举个例子，左上到右下，有 $2$个不同因素：左右，上下；那么三维可以考虑出就多了个前后，从而推出m维就有m个因素。

那么对于 $n$维图形，从 $2^n$个点出发可以寻找像这样可以表示一个 $m$维图形的线段。

扫描二维码关注公众号，回复： 8887065 查看本文章

于是转化并简化问题：从坐标角度想，你有一个 $n$个 $0$组成的排列，问有多少含有 $n$个数且有 $m$个 $1$和 $n-m$个 $0$的排列。

轻松得出

$ans=C^m_n\times 2^n$

诶怎么和上面的式子不太一样

然后就产生疑问了， $2$维图形可以右下 $-$左上，左上 $-$右下，右上 $-$左下，左下 $-$右上，同一个二维图形重复计算 $4$次！那么我们考虑下， $n$维下的 $m$维会重复计算多少次，考虑 $m=3$，从整个三维图形的每个点都可以向对应点发射线段，一个三维图形被重复了 $2^3$次(也就是三维的点的个数次)，考虑 $2$维，也是从每个点数到对面都有一条线，重复 $2^2$次，推理出 $m$维时，这个操作将重复 $2^m$次，从而得出最终的式子：

$ans=C_n^m\times 2^{n-m}$

至于求 $C^m_n$需要的逆元这里不多说了，很多大佬写过求逆元的博客，有事问度娘。

这是第一次写题解所以可能有点啰嗦，见谅

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
typedef long long ll;
ll ans,a,b,inv[10000001];
const ll MOD=1000000007;
using namespace std;
int q_pow(ll a,ll b){
	ll an=1;
	while (b>0){
		if (b&1)an*=a,an%=MOD;
		a*=a;a%=MOD;
		b>>=1;
	}
	return an;
}
int main(){
	cin>>a>>b;
	if(a<b){
        printf("0");
        return 0;    
    }
	ans=q_pow(2,a-b);
	inv[1]=1;
    for(ll i=2;i<=100000;i++){  
		inv[i]=(MOD-(MOD/i))*inv[MOD%i]%MOD;
    }
    for(int i=1;i<=b;i++)
    {
        ans*=(a-i+1);ans%=MOD;
        ans*=inv[i];ans%=MOD;
    }
    printf("%d",ans);
}