14.矩阵形式DFT及DFT的相关公式 [学习笔记]

本文主要罗列一下DFT的相关公式

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首先，不难将DFT写成矩阵形式，回忆之前的推导，DFT表达式为:

$$\underline{{\scr F}f} = \sum_{n=0}^{N-1} \underline{f[n]} \underline{\omega}^{-n}$$

写成矩阵形式就是：

$$\begin{bmatrix} \underline{{\scr F}f[0]}\\ \underline{{\scr F}f[1]}\\ \vdots\\ \underline{{\scr F}f[N-1]} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & \underline{\omega}^{-1 \cdot 1} & \cdots & \underline{\omega}^{- 1 \cdot (N-1)} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \underline{\omega}^{-(N-1) \cdot 1} & \cdots & \underline{\omega}^{-(N-1)^2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \underline{f[0] } \\ \underline{f[1]} \\ \vdots\\ \underline{f[N-1]} \end{bmatrix}$$

我们发现，DFT其实是一个对称矩阵，即

$$\underline{\scr F}^T = \underline{\scr F}\tag1$$

根据上一章中的运算，还可以知道：

$$\underline{\scr F^{-1}} \underline{\scr F} = \underline{\scr F} \underline{\scr F^{-1}} = NI\tag2$$

结合$(1)$，$(2)$两式，有：

$$\underline{\scr F^*} \underline{\scr F} = \underline{\scr F} \underline{\scr F^*} = NI$$

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DFT的对偶性：

1. $$\underline{f}^- [n] = \underline{f}[-n]$$

2. $$\underline{\scr F}\left( \underline{f}^- \right) = \left(\underline{{\scr F} f} \right)^-$$

3. $$\underline{{\scr F}{\scr F}f} = N f^-$$

$(3)$也是与连续傅里叶变换情况不同的地方

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类似连续情况，离散情况下的两个常用信号

a. $\underline{1} = (1, 1, \dots, 1)$表示各处均为1的离散信号

b. $\underline{\delta_k} = (0, \dots, 0, 1, 0, \dots, 0)$表示$k$处为$1$，其余均为$0$的离散信号

接下来我们来推导几个常用的DFT公式

1. $\underline{{\scr F}\delta_k}$

   $$\begin{align*} \underline{{\scr F}\delta_k} &= \sum_{n=0}^{N-1} \underline{\delta_k [n]} \underline{\omega}^{-n}\\ &= 1\cdot \underline{\omega}^{-k}\\ &= \underline{\omega}^{-k} \end{align*}$$

   特别地，$\underline{{\scr F}\delta}=\underline{1}$

2. $\underline{{\scr F}\omega^k}$

   $$\underline{{\scr F}\omega^k} = \sum_{n=0}^{N-1} \underline{\omega [n]}^k \underline{\omega}^{-n}$$

   我们看它的第$m$项，

   $$\begin{align*} \underline{{\scr F}\omega[m]}^k &= \sum_{n=0}^{N-1} \underline{\omega [n]}^k \underline{\omega[m]}^{-n}\\ &= \sum_{n=0}^{N-1} e^{2\pi i\frac{nk}{N}} e^{-2\pi i\frac{mn}{N}}\\ &= \sum_{n=0}^{N-1} e^{2\pi i\frac{n(k-m)}{N}}\\ &= \begin{cases} 0 & k \neq m\\ N & k=m \end{cases} \end{align*}$$

   也就是说$\underline{{\scr F}\omega^k}$只有在$m=k$的时候值为$N$，其他地方值均为$0$，因此

   $$\underline{{\scr F}\omega^k} = N \underline{\delta^k}$$