【Computer Graphics】旋转变换：矩阵形式

内容

2D中绕原点旋转
2D中绕任意点旋转
3D中绕坐标轴旋转
3D中绕任意轴旋转

1. 2D中绕原点旋转

在二维坐标系中，物体只能绕点旋转；且逆时针旋转经常(不是必须)被认为是正方向。

设物体在二维坐标系中，绕原点旋转θ度角，求旋转矩阵：

如下图，原坐标系基向量 p，q 绕原点旋转，得到新的基向量 p'，q'。

知道了旋转后基向量的值，就可以如下所示用基向量造旋转矩阵：

$R(\theta ) = \begin{bmatrix} p'&q' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}$

或者是：

$R(\theta ) =\begin{bmatrix} p'\\q' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}$

旋转后的坐标为：

$\small x = x_0 \cdot cos\theta - y_0 \cdot sin\theta$

$\small y = x_0 \cdot sin\theta + y_0 \cdot cos\theta$

2. 2D中绕任意点旋转

已知物体绕原点的旋转矩阵，那么绕任意一点的旋转，可以分解为平移，旋转，反平移这三个过程，可以分别求变换矩阵。

设点 $P = (x,y)$ ， $P_0 = (x_0,y_0)$ ，求 $P$ 点绕 $P_0$ 点旋转 $\theta$ 度角的旋转矩阵：

平移：将P点坐标平移 $(-x_0,-y_0)$ ，平移矩阵如下：
$\begin{bmatrix} 1& 0 & -x_0\\ 0 & 1 & -y_0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
旋转：将平移后的P点绕原点旋转 $\theta$ 度，旋转矩阵如下：
$\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}$
反平移：将旋转后的坐标平移回去，平移矩阵如下：
$\begin{bmatrix} 1& 0 & x_0\\ 0 & 1 & y_0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

综上，点 $P$ 绕点 $P_0$ 旋转 $\theta$ 度得到的坐标点为：d

$P'=\begin{bmatrix} x'\\y'\\1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1& 0 & x_0\\ 0 & 1 & y_0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta & 0 \\ sin\theta & cos\theta & 0\\ 0 & 0 &1 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 1& 0 & -x_0\\ 0 & 1 & -y_0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x\\ y \\ 1 \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta & -x_0\cdot cos\theta+y_0\cdot sin\theta+x_0 \\ sin\theta & cos\theta & -y_0\cdot cos\theta-x_0\cdot sin\theta+y_0\\ 0 & 0 &1 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} x\\ y\\1 \end{bmatrix}$

因此， $P'$ 点的坐标为：

$\left\{\begin{matrix} x' = (x-x_0)cos\theta -(y-y_0)sin\theta+x_0 \\ y'= (x-x_0)sin\theta+ (y-y_0)cos\theta +y_0 \end{matrix}\right.$

3. 3D中绕坐标轴旋转

在3D场景中，绕轴旋转而不是绕点旋转(轴是指旋转所绕的直线，不一定是笛卡尔坐标系的x，y，z轴)。这里暂不考虑平移，所以只讨论旋转轴穿过原点的情况。

和2D场景中相似，在讨论旋转之前，首先要明确旋转的正方向。这里需要区分左手坐标系和右手坐标系，比如左手坐标系中，定义旋转正方向的法则称为左手法则：伸出左手，大拇指指向旋转轴的正方向，其余四指弯曲的方向就是旋转的正方向。右手坐标系中也有类似的右手法则，不过使用右手代替左手。

先从绕x轴旋转开始，如图：

求出旋转后的基向量，可以得到矩阵：

$R_x(\theta ) = \begin{bmatrix} p'\\q' \\ r' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0& cos\theta & sin\theta \\ 0& -sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}$

绕y轴与之类似，如图：

可得绕y轴旋转的矩阵：

$R_y(\theta ) = \begin{bmatrix} p'\\q' \\ r' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos\theta & 0 & -sin\theta \\ 0&1& 0\\ sin\theta & 0& cos\theta \end{bmatrix}$

最后是绕z轴旋转，如图：

可得绕y轴旋转的矩阵：

$R_z(\theta ) = \begin{bmatrix} p'\\q' \\ r' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos\theta & sin\theta &0\\ -sin\theta &cos\theta & 0\\ 0& 0&1\end{bmatrix}$

4. 3D中绕任意轴旋转

在不考虑平移的情况下，假设旋转轴通过原点，设单位向量n为旋转轴θ为旋转量。我们想要求出绕轴n旋转角度θ的矩阵。也就是说，我们想得到满足下面条件的矩阵R(n，θ)，其中v'是向量v绕轴n旋转后的向量：

$vR(n,\theta ) = v'$

如何用v，n和θ表示v'，我们的想法是在垂直于n的平面中解决这个问题，那么这就转化为了一个简单的2D问题。为了做到这一点，将v分解为两个分向量： $v_\parallel$ 和 $v_\perp$ ，分别平行和垂直于n，并且有 $v = v_\parallel + v_\perp$ 。因为 $v_\parallel$ 平行于n ，所以绕n旋转不会影响到它。固只要计算出 $v_\perp$ 绕n旋转后的 $v_\perp'$ ，就能得到 $v' = v_\parallel +v'_\perp$ 。如下图所示，为了计算 $v' = v_\parallel +v'_\perp$ ，我们构造了向量 $v_\parallel$ ， $v_\perp$ 和临时向量w：

$v_\parallel$ 是v平行于n的分量。或者说是 $v_\parallel$ 是v在n上的投影，即：
$v_\parallel =(v\cdot n) n$
$v_\perp$ 是v垂直于n的分量，也是v投影到垂直于n的平面上的结果：
$v_\perp = v - v_\parallel$
w是同时垂直于 $v_\parallel$ 和 $v_\perp$ 的向量。它的长度和 $v_\perp$ 的相同。w和 $v_\perp$ 同在垂直于n的平面中，w是 $v_\perp$ 绕n旋转90°的结果，即：
$w = n \times v_\perp = n\times (n-v_\parallel ) = n \times v - n\times v_\parallel = n \times v - 0 = n \times v$

如上图所示， $v_\perp'$ 可以表示为：

$v_\perp' = v_\perp cos\theta + wsin\theta$
$=(v-(v\cdot n)n )cos\theta+(n\times v)sin\theta$

代入 $v'$ 的表达式，有：

$v' = v_\perp ' + v_\parallel$
$= (v-(v\cdot n)n)cos\theta +(n\times v)sin\theta +(v\cdot n)n$

现在，已经得到了v'和v，n，θ的关系式了，可以用它来计算变换后的基向量并构造矩阵。
第一个基向量为：

$p =\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$p' = (p-(p\cdot n)n)cos\theta +(n\times p)sin\theta +(p\cdot n)n$
$=\left ( \begin{bmatrix}1\\0 \\0 \end{bmatrix} - \left ( \begin{bmatrix}1\\ 0\\0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}n_x\\n_y \\n_z \end{bmatrix} \right ) \begin{bmatrix}n_x\\n_y \\n_z \end{bmatrix} \right )cos\theta - \left ( \begin{bmatrix} n_x\\n_y \\n_z \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0\end{bmatrix} \right )sin\theta + \left ( \begin{bmatrix} 1\\0 \\0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} n_x\\n_y \\n_z \end{bmatrix} \right ) \begin{bmatrix} n_x\\n_y \\n_z \end{bmatrix}$

$= \left ( \begin{bmatrix} 1\\0 \\0 \end{bmatrix} - n_x\begin{bmatrix} n_x\\n_y \\n_z \end{bmatrix} \right )cos\theta + \begin{bmatrix} 0\\ n_z\\-n_y \end{bmatrix}sin\theta + n_x\begin{bmatrix} n_x\\ n_y\\n_z \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} 1-n_x^2\\-n_xn_y \\-n_x n_z \end{bmatrix} cos\theta + \begin{bmatrix} 0\\ n_z\\ -n_y\end{bmatrix} sin\theta +n_x \begin{bmatrix} n_x^2\\ n_xn_y\\ n_xn_z\end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} cos\theta -n_x^2cos\theta \\ -n_xn_ycos\theta \\-n_xn_zcos\theta \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0\\n_zsin\theta \\-n_ysin\theta \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} n_x^2\\n_xn_y \\ n_xn_z\end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} cos\theta - n_x^2cos\theta +n_x^2 \\-n_xn_ycos\theta +n_zsin\theta +n_xn_y \\ -n_xn_zcos\theta -n_ysin\theta +n_xn_z \end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix} n_x^2(1- cos\theta )+cos\theta \\ n_xn_y(1- cos\theta )+n_zsin\theta \\ n_xn_z(1- cos\theta )-n_ysin\theta \end{bmatrix}$

另外两个基向量的推导与之类似，有：

$q=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$
$q'=\begin{bmatrix} n_xn_y(1- cos\theta )-n_zsin\theta \\ n_y^2(1- cos\theta )+cos\theta \\ n_yn_z(1- cos\theta )+n_xsin\theta \end{bmatrix}$

$r=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
$r'=\begin{bmatrix} n_xn_z(1- cos\theta )+n_ysin\theta \\ n_yn_z(1- cos\theta )-n_xsin\theta \\ n_z^2(1- cos\theta )+cos\theta \end{bmatrix}$

用这些基向量构造矩阵，可得公式为：

$R(n,\theta ) = \begin{bmatrix}p'\\q' \\ r'\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} n_x^2(1- cos\theta )+cos\theta & n_xn_y(1- cos\theta )+n_zsin\theta &n_xn_z(1- cos\theta )-n_ysin\theta \\ n_xn_y(1- cos\theta )-n_zsin\theta & n_y^2(1- cos\theta )+cos\theta & n_yn_z(1- cos\theta )+n_xsin\theta \\ n_xn_z(1- cos\theta )+n_ysin\theta & n_yn_z(1- cos\theta )-n_xsin\theta &n_z^2(1- cos\theta )+cos\theta \end{bmatrix}$