动态规划求解矩阵连乘问题

题目

　　给定n个矩阵{A₁，A₂，…，A_n}（其中，矩阵A_i的维数为p_i-1*p_i，i=1,2,3，…，n），如何确定计算矩阵的连乘积A₁，A₂，…，A_n的计算次序（完全加括号方式），使得此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。

步骤

• 分析最优解的结构 

　　将矩阵连乘积A_iA_i+1…A_j简记为A[i：j]，则原式记为A[1：n]。

　　将矩阵链在A_k和A_k+1之间断开，1≤k<n，则A_iA_i+1…A_j=（A_1...A_k）（A_1...A_k）。我们只要计算A[1：k]以及A[k+1：n]，再将二者相乘则可得出结果。

　　我们只需要保证A[1：k]以及A[k+1：n]的计算次序也是最优的，那么A[1：n]的计算次序也就是最优的了（最优子结构的性质）。

• 建立递归关系

　　计待求问题最优值的乘积次数为m[i][j]。

　　i = j 时，A[i: j]=A_i，m[i][j]=0，i=1,2,…，n

　　i < j 时，根据矩阵数乘的性质得：m[ i ][ j ] = m[ i ][ k ] + m[ k+1][ j ] + p_i-1 p_k p_j

　　又因为k的位置未定，而k的可能取值范围为i，i+1，…，j-1，因此k是这j-1个位置中使得m[ i ][ j ]的值达到最小的位置。可以得到递推关系

　　 i < j 时 ，m[ i ][ j ] = min { m[ i ][ k ] + m[ k+1][ j ] + p_i-1 p_k p_j }  ， i ≤ k < j

　　将对应m[ i ][ j ]的断开位置k记为s[ i ][ j ]，则之后可递归地由s[ i ][ j ]构造出相应的最优解

• 计算最优值

　　依据其递归式，自底向上的计算。

　　下列算法中，输入参数{p₀，p₁，…，p_n}。

 1 void MatrixChain(int *p, int n, int**m, int **s){
 2     for{int i=1;i<=n;i++) m[i][j]=0;
 3     for(int r=2;r<=n;r++){
 4         for(int r =2;r<=n;r++){
 5             int j=i+r-1;
 6             m[i][j] = m[i+1][j] + p[i-1]*p[i]*p[j];
 7             s[i][j] = i;
 8             for(int k =i+1;k<j;k++){
 9                 int t = m[i][k]+m[k+1][j] +  p[i-1]*p[i]*p[j];
10                 if(t< m[i][j]){ m[i][j] =t ; s[i][j] =k;}
11             }
12         }
13     }
14 }        

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　　该算法先计算出m[ i ][ i ]，然后依次计算m[ i ][ i+1 ]，m[ i ][ i+2 ]，…，m[ i ][ j ]。在计算m[ i ][ j ]时，只需要用到之前计算过的m[ i ][ k ]和m[ k+1 ][ j ]。

　　算法的主要计算量取决于r，i，k的三重循环，因此时间复杂度为O(n³)，空间复杂度为O(n²)。

• 构造最优解

　　s[ i ][ j ]表示A[i: j]的最佳断开位置为A_k和A_k+1。

　　因此A[1: n]的最佳加括号方式为(A[1: s[ 1 ][ n ]) (A[s[ 1 ][ n ]+1: n])  //s[ i ][ j ]存的是相应的k

　　　　A[1: s[ 1 ][ n ] ] 的最佳加括号方式为(A[ 1 : s[ 1 ][ s[ 1 ][ n ] ] ]) (A[ s[ 1 ][ s[ 1 ][ n ] ] +1 : s[ 1 ][ n ])

　　递推。

1 void Traceback(int i, int j, int **s){
2     if(i==j) return;
3     Traceback(i, s[ i ][ j ],s);
4     Traceback(s[ i ][ j ]+1 ,j ,s);
5 
6     cout<<"Multiply A" <<i<<", "<<s[ i ][ j ];
7     cout<<" and A "<<(s[ i ][ j ]+1)<<", "<<j<<endl;
8 }

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 要输出A[1: n]的最优计算次序只需要调用Traceback(1 , n, s)即可