TLA+ 《Specifying Systems》翻译初稿——Section 6.1 Sets( 集合）

本节要点：

• 两个集合运算： $\text{UNION }S$ 和 $\text{SUBSET } S$
• 两种集合构造方式 ： $\{x \in S:p\}$ 和 $\{e:x \in S\}$
• 标准模块 $FiniteSets$中两个运算符 $Cardinality(S)$ 和 $IsFiniteSet(S)$
• 罗素悖论（个人觉得可以不看）

我们用来编写规约所需要的数学基础，是建立在一个小而简单的集合概念上的。 您可能已经了解了描述绝大多数数学形式所需的内容，现在需要掌握的只是在下面第6.1节中描述的少数几个集合运算符。 了解它们之后，您将能够定义规约中出现的所有数据结构和操作。

虽然我们用到的数学很简单，但是其基础并不是显而易见的，例如，递归函数定义和CHOOSE运算符的含义很微妙，本节将讨论其中一些基础，了解它们将帮助您更有效地使用TLA +。

6.1 Set（集合）

1.2节中描述的简单的集合操作，对编写大多数系统规范已经足够了， 但是，有时可能需要使用更复杂的运算符，尤其是如果您需要定义除元组，记录和简单函数之外的数据结构。
集合论的两个关键运算符是一元运算符 并集和子集，定义如下：

• $\text{UNION }S$ 集合S中所有元素的并集。换句话说， $e$是集合 $\text{UNION }S$ 的一个元素 当且仅当 它是 $S$的一个元素中的一个元素，例如： $\text{UNION }\{\{1,2\},\{2,3\},\{3,4\}\}=\{1,2,3,4\}$
• $\text{SUBSET } S$ $S$所有子集的集合。换句话说， $T \in \text{SUBSET }S$当且仅当 $T\subseteq S$。例如： $\text{SUBSET } \{1,2\}=\{\{\},\{1\},\{2\},\{1,2\}\}$
  数学家们经常采用如下术语描述集合：“…是所有…的集合，使得…”。TLA+有两种结构可以将上述语言形式化：
• $\{x \in S:p\}$ 是 $S$的一个子集，其中的每个元素都满足属性 $p$。例如，所有奇自然数的集合可以写作： $\{n \in Nat: n\%2=1\}$。标识符 $x$出现在表达式 $p$中，不会出现在 $S$中。
• $\{e:x \in S\}$ 是由集合 $S$中每个元素，按照形式 $e$生成的元素的集合。例如， $\{2*n+1:n\in Nat\}$ 就是所有奇自然数的集合，其中标识符 $x$出现在 $e$中，不会在 $S$中出现。

$\{e:x \in S\}$与 $\exists x \in S:F$有相同的构造生成方式。例如 $\{e:x \in S, y\in T\}$是所有满足形式 $e$的集合，其中 $x$属于集合 $S$, $y$属于集合 $T$。在集合 $\{x \in S:P\}$中，我们可以让 $x$为一个元组。例如， $\{\langle y,z\rangle \in S:P\}$ 是 $S$中满足条件 $P$的所有元素对 $\langle y,z\rangle$的集合。第15章的TLA+语法会更精确地描述集合表达式的写法。

到目前为止所有这些用到的集合运算符都是TLA+的内置运算符，另外，还有一个名为 $FiniteSets$的标准模块定义了如下两个集合操作符：

$Cardinality(S)$ 集合 $S$中元素的个数（ $S$是一个有限集合）
$IsFiniteSet(S)$ $S$是有限集则为TRUE

$FiniteSets$模块在第341页。 $Cardinality(S)$定义在第70页。

关于集合的粗心推理可能会出问题， 经典的例子是罗素悖论：

令 $\mathcal{R}$为所有满足 $S\notin S$的集合 $S$的集合， 则 $\mathcal{R}$的定义可以推导如下： $\mathcal{R} \in \mathcal{R}$为真当且仅当 $\mathcal{R} \notin \mathcal{R}$

两个结论明显相悖，这个悖论产生的原因是 $\mathcal{R}$不是一个集合。如果一个“组合” $\mathcal{C}$是所有集合的合集，那么它因为太大而不成为一个集合——因为如果它是一个集合，我们可以将 $\mathcal{C}$中的一个不同元素赋值给每一个集合，通俗来说，如果我们定义一个操作 $SMap$, 使得：

• 对所有集合 $S$, $SMap(S)$是 $\mathcal{C}$的一个元素;
• 如果 $S$和 $T$是不同集合，则 $SMap(S)\neq SMap(T)$

例如，所有长度为2的序列的组合不是一个集合，因为我们可以定义操作 $SMap$如下 $SMap(S) \triangleq \langle 1,S \rangle$这个操作针对每一个集合 $S$生成了与之前所有序列都不同的长度为2的序列。