TLA+ 《Specifying Systems》翻译初稿——Section 1.2 Sets（集合）

本节要点

• 集合的基本概念：元素、关系 $\in$、相等条件等;
• 集合的四个基本运算： $\cap$ 交集、 $\cup$ 并集、 $\subseteq$ 子集 和 $\setminus$ 差集;

集合论是普通数学的基础。集合通常被描述为元素的“聚合”，但是说集合是聚合也不是特别确切，集合的概念是如此的基本以至于我们不好去定义它。我们先把集合和关系 $\in$作为未定义的概念，其中 $x \in S$表示 $x$是 $S$的一个元素，我们常说“在集合 $S$中”(is in)，而不是“是 $S$的一个元素”(is a element of)。

一个集合可以有有限数量的元素，也可以有无限数量的元素。所有自然数(0、1、2等)的集合是一个无限的集合。比3小的自然数组成的集合是有限集，包含了0，1，2这3个元素，我们可以将之记做 $\{0,1,2\}$.

一个集合完全取决于它的元素。两个集合相等当且仅当它们拥有相同的元素。因此， $\{0,1,2\}$, $\{2,1,0\}$, $\{0,0,1,2,2\}$是相同的集合，即拥有元素3个元素0，1，2的集合。空集，记做 $\{\}$,是唯一一个拥有0个元素的集合。

常用的集合操作如下：
$\cap$ 交集 $\qquad\cup$ 并集 $\qquad\subseteq$ 子集 $\qquad \setminus$ 差集

下面是定义和使用示例：

• $S\cap T$ $S$和 $T$中都包含的元素的集合
  $\{1,-1/2,3\}\cap \{1,2,3,5,7\}=\{1,3\}$
• $S\cup T$ $S$或 $T$中包含的元素的集合(也可以都包含)
  $\{1,-1/2\}\cup \{1,5,7\}=\{1,1/2,5,7\}$
• $S\subseteq T$ 值为TRUE当且仅当 $S$中的元素也都是 $T$中的元素
  $\{1,3\}\subseteq \{3,2,1\}$
• $S\setminus T$ 在 $S$中，但不在 $T$中的元素的集
  $\{1,-1/2,3\}\cup \{1,5,7\}=\{-1/2,3\}$

在就是在开始学习如何定义系统之前，我们需要了解的关于集合的所有信息了。我们将在第6.1节中继续讨论集合理论。